Contoh Soal dan Pembahasan Fungsi Komposisi

         Fungsi Komposisi merupakan penggabungan dua fungsi atau lebih. Sebelum mempelajari materi fungsi komposisi ini, kita harus menguasai dulu tentang fungsi, silahkan baca pada artikel "Relasi" dan "Fungsi". Yang kita pelajari kali ini yaitu mengomposisikan dua fungsi atau lebih dan menentukan komponen fungsi yang belum diketahui serta sifat-sifat fungsi komposisi.
Deskripsi dan Definisi Fungsi Komposisi
         Jika diketahui A={a1,a2,a3},B={b1,b2,b3,b4}, dan C={c1,c2,c3}, maka fungsi f:AB dan g:BC didefinisikan seperti diagram berikut.
         Dari kedua diagram di atas, dapat diperoleh fungsi yang memetakan langsung dari A ke C sebagai berikut.
         Jika fungsi yang langsung memetakan A ke C itu dianggap fungsi tunggal, maka diagramnya adalah sebagai berikut.
         Fungsi tunggal tersebut merupakan fungsi komposisi dan dilambangkan dengan gf dibaca "fungsi g bundaran f". gf adalah fungsi komposisi dengan f dikerjakan lebih dahulu daripada g.
Definisi Fungsi Komposisi
       Diketahui, f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis gf, didefinisikan sebagai (gf)(x)=g(f(x)) dengan f dikerjakan lebih dahulu daripada g.
Ilustrasi diagram panah untuk fungsi komposisi (gf)(x) :
       Sementara untuk fungsi komposisi g dan f ditulis fg, didefinisikan sebagai (fg)(x)=f(g(x)) dengan g dikerjakan lebih dahulu daripada f.
Ilustrasi diagram panah untuk fungsi komposisi (fg)(x) :

Syarat Fungsi Komposisi

       Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi (gf) adalah irisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan himpunan kosong, atau RfDg.
Daerah Asal Fungsi Komposisi
*). Misalkan terdefinisi fungsi komposisi (gf)(x) , daerah asalnya (Dgf) adalah Dgf={x|xDf,f(x)Dg}

*). Misalkan terdefinisi fungsi komposisi (fg)(x) , daerah asalnya (Dfg) adalah Dfg={x|xDg,g(x)Df}
Keterangan :
Df= daerah asal fungsi f
Dg= daerah asal fungsi g

Contoh:
1). Fungsi f dan g dinyatakan dalam himpunan pasangan berurutan berikut.
f={(a,b),(c,d),(e,f),(g,h),(i,j)}
g={(b,1),(f,a),(h,5),(1,i),(j,c)}
Nyatakan fungsi-fungsi komposisi berikut dalam pasangan berurutan.!
a). (gf)(x) b). (fg(x)
Penyelesaian :
*). Fungsi f : f(a)=b,f(c)=d,f(e)=f,f(g)=h,f(i)=j
Domain fungsi f : Df={a,c,e,g,i}
*). Fungsi g : g(b)=1,g(f)=a,g(h)=5,g(1)=i,g(j)=c
Domain fungsi g : Dg={b,f,h,1,j}
*). Menentukan fungsi komposisinya
a). (gf)(x)=g(f(x))
Kerjakan fungsi f dahulu dengan memasukkan domain fungsi f :
x=a(gf)(a)=g(f(a))=g(b)=1, artinya (gf)(a)=1
x=c(gf)(c)=g(f(c))=g(d)=, artinya (gf)(c)=
(tidak ada pasangannya)
x=e(gf)(e)=g(f(e))=g(f)=a, artinya (gf)(e)=a
x=g(gf)(g)=g(f(g))=g(h)=5, artinya (gf)(g)=5
x=i(gf)(i)=g(f(i))=g(j)=c, artinya (gf)(i)=c
Sehingga diperoleh gf={(a,1),(e,a),(g,5),(i,c)}
b). (fg)(x)=f(g(x))
Kerjakan fungsi g dahulu dengan memasukkan domain fungsi g :
x=b(fg)(a)=f(g(b))=f(1)=, artinya (fg)(b)=
(tidak ada pasangannya)
x=f(fg)(f)=f(g(f))=f(a)=b, artinya (fg)(f)=b
x=h(fg)(h)=f(g(h))=f(5)=, artinya (fg)(h)=
(tidak ada pasangannya)
x=1(fg)(1)=f(g(1))=f(i)=j, artinya (fg)(1)=j
x=j(fg)(j)=f(g(j))=f(c)=d, artinya (fg)(j)=d
diperoleh fg={(f,b),(1,j),(j,d)}

2). Diketahui fungsi f:RR dengan f(x)=x2+2 dan fungsi g:RR dengan g(x)=1x.
a). Apakah fungsi komposisi (gf)(x) dan (fg)(x) terdefinisi?
b). Tentukan fungsi komposisi (gf)(x) dan (fg)(x) !
Penyelesaian :
*). Menentukan Domain dan Range fungsi f dan fungsi g :
Fungsi f(x)=x2+2Df={x|xR} dan Rf={y|y2}
Fungsi g(x)=1xDg={x|x1} dan Rg={y|y0}
a). Untuk menentukan apakah fungsi komposisi (gf)(x) dan (fg)(x) terdefinisi, diketahui berdasarkan:
*). Jika RfDg maka (gf)(x) terdefinisi.
RfDg={y|y2}{x|x1}=
Karena RfDg= maka (gf)(x) tidak terdefinisi, artinya fungsi komposisi (gf)(x) tidak bisa dicari hasilnya.
*). Jika RgDf maka (fg)(x) terdefinisi.
RgDf={y|y0}{x|xR}={x|x0,xR}
Karena RgDf maka (fg)(x) terdefinisi, artinya fungsi komposisi (fg)(x) bisa dicari hasilnya.
b). Menentukan fungsi komposisi (gf)(x) dan (fg)(x)
*). Menentukan (gf)(x)
(gf)(x)=g(f(x))=g(x2+2)=1(x2+2)=(x2+1)
Karena hasilnya adalah bilangan real (R), maka bentuk (gf)(x)=(x2+1) tidak terdefinisi (dalam akar selalu negatif, padahal pada bilangan real tidak ada akar negatif). Ini artinya fungsi komposisi (gf)(x) tidak ada hasilnya, dan ini sesuai dengan pernyataan a) di atas yaitu bentuk (gf)(x) tidak terdefinisi.
*). Menentukan (fg)(x)
(fg)(x)=f(g(x))=f(1x)=(1x)2+2=(1x)+2=3x
Sehingga diperoleh, (fg)(x)=3x

3). Diketahui fungsi f(x)=5x23 dan g(x)=2x+1, tentukan nilai (fg)(1) ?
Penyelesaian :
Ada dua cara menyelesaikan soal yaitu dengan mencari fungsi komposisinya atau dengan langsung menghitung nilai komposisinya.
*). Cara I : menentukan fungsi komposisinya
(fg)(x)=f(g(x))=f(2x+1)=5(2x+1)23=5(4x2+4x+1)3=20x2+20x+53(fg)(x)=20x2+20x+2
Sehingga nilai (fg)(1)
(fg)(x)=20x2+20x+2(fg)(1)=20(1)2+20(1)+2=20.120+2=2
*). Cara II : Langsung substitusi nilai x=1
(fg)(1)=f(g(1))=f(2.(1)+1)=f(1)=5(1)23=53=2
Jadi, nilai (fg)(1)=2 .

4). Diketahui fungsi f(x)=3x1 dan g(x)=2x. Jika (fg)(a)=1 , maka nilai a2+2=....
Penyelesaian :
Disini kita tidak perlu mencari bentuk komposisinya dulu, tapi langsung kita substitusi nilai x=a untuk menentukan nilai a .
(fg)(a)=1f(g(a))=1f(2a)=13(2a)1=163a1=153a=13a=6a=2
sehingga nilai a2+2=22+2=4+2=6

Sifat-sifat operasi fungsi komposisi

       Bila f,g, dan h suatu fungsi, maka:
a. tidak berlaku sifat komutatif, yaitu (fg)(x)(gf)(x);
b. jika I fungsi identitas (I(x)=x) berlaku :
(If)(x)=(fI)(x)=f(x);
c. berlaku sifat asosiatif, yaitu : (f(gh))(x)=((fg)h)(x).

contoh :
1). Diketahui f(x)=2x5,g(x)=x2+x3.
a. Tentukan (gf)(x).
b. Tentukan (fg)(x). c. Apakah berlaku sifat komutatif: gf=fg?
Penyelesaian :
$\begin{align} \text{a. } \, (g\circ f)(x) & = g(f(x)) \\ & = g(2x - 5) \\ & = (2x - 5)^2 + (2x - 5) - 3 \\ & = (4x^2 -20x + 25 ) + (2x
(fg)(x)=f(g(x))=f(1x)=(1x)2+2=(1x)+2=3x
Sehingga diperoleh, (fg)(x)=3x

3). Diketahui fungsi f(x)=5x23 dan g(x)=2x+1, tentukan nilai (fg)(1) ?
Penyelesaian :
Ada dua cara menyelesaikan soal yaitu dengan mencari fungsi komposisinya atau dengan langsung menghitung nilai komposisinya.
*). Cara I : menentukan fungsi komposisinya
(fg)(x)=f(g(x))=f(2x+1)=5(2x+1)23=5(4x2+4x+1)3=20x2+20x+53(fg)(x)=20x2+20x+2
Sehingga nilai (fg)(1)
(fg)(x)=20x2+20x+2(fg)(1)=20(1)2+20(1)+2=20.120+2=2
*). Cara II : Langsung substitusi nilai x=1
(fg)(1)=f(g(1))=f(2.(1)+1)=f(1)=5(1)23=53=2
Jadi, nilai (fg)(1)=2 .

4). Diketahui fungsi f(x)=3x1 dan g(x)=2x. Jika (fg)(a)=1 , maka nilai a2+2=....
Penyelesaian :
Disini kita tidak perlu mencari bentuk komposisinya dulu, tapi langsung kita substitusi nilai x=a untuk menentukan nilai a .
(fg)(a)=1f(g(a))=1f(2a)=13(2a)1=163a1=153a=13a=6a=2
sehingga nilai a2+2=22+2=4+2=6

Sifat-sifat operasi fungsi komposisi

       Bila f,g, dan h suatu fungsi, maka:
a. tidak berlaku sifat komutatif, yaitu (fg)(x)(gf)(x);
b. jika I fungsi identitas (I(x)=x) berlaku :
(If)(x)=(fI)(x)=f(x);
c. berlaku sifat asosiatif, yaitu : (f(gh))(x)=((fg)h)(x).

contoh :
1). Diketahui f(x)=2x5,g(x)=x2+x3.
a. Tentukan (gf)(x).
b. Tentukan (fg)(x). c. Apakah berlaku sifat komutatif: gf=fg?
Penyelesaian :
a. (gf)(x)=g(f(x))=g(2x5)=(2x5)2+(2x5)3=(4x220x+25)+(2x5)3=(4x220x+25)+(2x5)3=4x218x+17b. (fg)(x)=f(g(x))=f(x2+x3)=2(x2+x3)5=2x2+2x65=2x2+2x11
c. Tidak berlaku sifat komutatif karena (gf)(x)(fg)(x) .

2). Diketahui f(x)=3x7 dan I(x)=x.
Buktikan If=fI=f.
Pembuktian :
(If)(c)=I(f(x))=I(3x7)=3x7(fI)(x)=f(I(x))=f(x)=3x7
Tampak bahwa If=fI=f (terbukti).

3). Diketahui f(x)=x2,g(x)=x+2, dan h(x)=3x.
a. Tentukan (f(gh))(x).
b. Tentukan ((fg)h)(x).
c. Apakah f(gh)=(fg)h , mengapa?
Penyelesaian :
a. (f(gh))(x)=...
Misalkan p(x)=(gh)(x)=g(h(x))=g(3x)=3x+2
Soalnya menjadi :
(f(gh))(x)=(f(gh)(x))=(fp)(x)=f(p(x))=f(3x+2)=(3x+2)2=9x2+12x+4
b. ((fg)h)(x)=...
Misalkan q(x)=(fg)(x)=f(g(x))=f(x+2)=(x+2)2=x2+4x+4
Soalnya menjadi :
((fg)h)(x)=(qh)(x)=q(h(x))=q(3x)=(3x)2+4(3x)+4=9x2+12x+4
c. Ya, benar berlaku f(gh)=(fg)h , karena bersifat asosiatif.

Menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi

Menentukan fungsi f atau fungsi g dari fungsi komposisinya
       Jika diketahui fungsi komposisinya (gf)(x) atau (fg)(x) dan diketaui salah satu fungsinya bisa fungsi f atau fungsi g, maka kita diminta menentukan fungsi yang belum diketahui.

Cara Umumnya :
*). yang ditanyakan bagian kanan
       Misal diketahui fungsi f dan fungsi komposisi (fg)(x) , kita diminta menentukan fungsi g. Caranya, langsung substitusi bentuk g(x) ke fungsi f, maksudnya semua variabel x pada fungsi f digantikan dengan g(x).
*). yang ditanyakan bagian kiri
       Misal diketahui fungsi f dan fungsi komposisi (gf)(x) , kita diminta menentukan fungsi g. Caranya, substitusi bentuk fungsi f(x) ke komposisinya, lalu misalkan agar menjadi satu variabel.

1). Diketahui fungsi f(x)=2x3 dan (fg)(x)=4x26x+5. Tentukan fungsi g(x)!
Penyelesaian :
(fg)(x)=4x26x+5f(g(x))=4x26x+52[g(x)]3=4x26x+52[g(x)]=4x26x+5+32[g(x)]=4x26x+8g(x)=4x26x+82g(x)=2x23x+4
Jadi, diperoleh fungsi g(x)=2x23x+4

2). Diketahui fungsi g(x)=3x+2 dan (fg)(x)=x2+x3. Tentukan fungsi f(x) nya !
Penyelesaian :
(fg)(x)=x2+x3f(g(x))=x2+x3f(3x+2)=x2+x3misal p=3x+2x=p23substitusikan p=3x+2f(3x+2)=x2+x3f(p)=(p23)2+(p23)3f(p)=p24p+49+p233f(p)=p24p+49+3(p2)9279f(p)=p24p+49+3p69279f(p)=(p24p+4)+(3p6)+279f(p)=p2p+259
Sehingga diperoleh : f(p)=p2p+259f(x)=x2x+259
Jadi, diperoleh fungsi f(x)=x2x+259


EmoticonEmoticon

:)
:(
hihi
:-)
:D
=D
:-d
;(
;-(
@-)
:o
:>)
(o)
:p
:-?
(p)
:-s
8-)
:-t
:-b
b-(
(y)
x-)
(h)