Contoh Aplikasi Pertidaksamaan dalam Soal Cerita

         Pada materi kali ini, kita akan pelajari tentang Penerapan Pertidaksamaan dalam Soal Cerita. Tentu untuk memudahkan dalam mempelajari penerapan pertidaksamaan ini, kita harus menguasai materi-materi pertidaksamaan seperti "Pertidaksamaan secara Umum", "Sifat-sifat Pertidaksamaan", "Pertidaksamaan Linear", "Pertidaksamaan Kuadrat", "Pertidaksamaan Pecahan", "Pertidaksamaan Bentuk Akar", dan "Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak".

Penyelesaian soal cerita yang berkaitan dengan pertidaksamaan

       Penerapan pertidaksamaan yang dimaksud adalah menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan soal cerita. Langkah-langkah penyelesaiannya adalah buat model matematikanya dan selesaikan dengan konsep pertidaksamaan.

Contoh :
1). Hasil produksi suatu barang dapat dinyatakan dengan persamaan $H(x) = -x^2 + 28x - 60 \,$ unit barang untuk bahan baku yang diperlukan. Jika hasil produksi (H) mencapai lebih dari 100 unit, banyaknya bahan baku $x \,$ yang deperlukan adalah ...?
Penyelesaian :
$\spadesuit$ Hasil produksi lebih dari 100, artinya $H(x) > 100$
$\spadesuit$ Menyelesaikan pertidaksamaan $H(x) > 100$

$\begin{align} H(x) & > 100 \\ -x^2 + 28x - 60 & > 100 \\ -x^2 + 28x - 160 & > 0 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x^2 - 28x + 160 & < 0 \\ (x-20)(x-8) & < 0 \\ x = 20 \vee x & = 8 \end{align}$

Jadi, banyaknya bahan baku yang dibutuhkan : $8 < x < 20$

2). Suatu kolam renang yang berbentuk persegi panjang akan dibuat dengan keliling 30 m. Jika luas kolamg paling sedikit 50 m$^2$ , maka interval panjang kolam renang ($p$) dalam meter yang memenuhi syarat tersebut!
Penyelesaian :
$\clubsuit$ Misalkan panjang = $p$ , dan lebar = $l$
Rumus keliling = $2(p+l) \,$ dan Luas = $p.l$

$\begin{align} \text{ Keliling } & = 30 \\ 2(p+l) & = 30 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ p + l & = 15 \\ l & = 15 - p \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$

$\clubsuit$ Luas paling sedikit 50, artinya Luas $\geq 50$
$\clubsuit$ Substitusi pers(i) ke pertidaksamaan

$\begin{align} \text{ Luas } & \geq 50 \\ p.l & \geq 50 \, \, \, \, \, \, \text{substitusi pers(i)} \\ p.(15-p) & \geq 50 \\ -p^2 + 15p - 50 & \geq 0 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ p^2 - 15p + 50 & \leq 0 \\ (p-5)(p-10) & \leq 0 \\ p = 5 \vee p & = 10 \end{align}$

Jadi, interval nilai $p \,$ adalah $5 \leq p \leq 10$.

3). Suatu benda ditembakka ke atas dengan persamaan gerak $S = h(t) = 37t - t^2 \,$ (untuk $S \,$ dalam meter dan $

$\begin{align} \text{ Luas } & \geq 50 \\ p.l & \geq 50 \, \, \, \, \, \, \text{substitusi pers(i)} \\ p.(15-p) & \geq 50 \\ -p^2 + 15p - 50 & \geq 0 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ p^2 - 15p + 50 & \leq 0 \\ (p-5)(p-10) & \leq 0 \\ p = 5 \vee p & = 10 \end{align}$

Jadi, interval nilai $p \,$ adalah $5 \leq p \leq 10$.

3). Suatu benda ditembakka ke atas dengan persamaan gerak $S = h(t) = 37t - t^2 \,$ (untuk $S \,$ dalam meter dan $t \,$ dalam detik). Jika benda tersebut mencapai ketinggian tidak kurang dari 300 m, maka lama (waktu) benda setelah ditembakkan yang memenuhi adalah ...?
Penyelesaian :
$\spadesuit$ Ketinggian tidak kurang dari 300, artinya $S \geq 300$
$\spadesuit$ Menyelesaikan pertidaksamaan $S \geq 300$

$\begin{align} S & \geq 300 \\ 37t - t^2 & \geq 300 \\ 37t - t^2 - 300 & \geq 0 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ t^2 - 37t + 300 & \leq 0 \\ (t-12)(t-25) & \leq 0 \\ t = 12 \vee t & = 25 \end{align}$

Jadi, lamanya adalah $12 \leq t \leq 25$.
artinya waktunya antara 12 detik sampai 25 detik setelah ketinggian minimal (lebih dari sama dengan) 300 m.