Contoh Soal dan Pembahasan Kedudukan Dua Lingkaran

         Kedudukan Dua Lingkaran maksudnya posisi kedua lingkaran yang dibagi menjadi beberapa jenis. Untuk memudahkan mempelajari materi kedudukan dua lingkaran, sebaiknya kita menguasai dulu materi "persamaan lingkaran" dan "jarak dua titik" yang bisa dipelajari pada materi "irisan kedua lingkaran".

Penjabaran Kedudukan Dua Lingkaran

       Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran $L_1$ berpusat di $P$ dengan jari-jari $R$ dan lingkaran $L_2$ berpusat di $Q$ dengan jari-jari $r$ di mana $R > r$ maka terdapat beberapa kedudukan lingkaran sebagai berikut.

i). $L_2$ terletak di dalam $L_1$ dengan $P$ dan $Q$ berimpit, Syarat : $PQ = 0$. Dalam hal ini dikatakan $L_2$ terletak di dalam $L_1$ dan konsentris (sepusat).

ii). $L_2$ terletak di dalam $L_1$ , syarat : $PQ < r < R$ atau $PQ < R - r$. Dalam hal ini dikatakan $L_2$ terletak di dalam $L_1$ yang disebut juaga tidak konsentris.

iii). $L_1$ dan $L_2$ bersinggungan di dalam, syaratnya : $PQ = R - r$

iv). $L_1$ berpotongan dengan $L_2$ , syaratnya : $R - r < PQ < R + r.$

v). $L_1$ dan $L_2$ bersinggungan di luar, syaratnya : $PQ = R + r$

vi). $L_1$ terletak di luar $L_2$ , syaratnya : $PQ > R + r$, sehingga $L_1$ dan $L_2$ saling terpisah.

vii). $L_1$ ortogonal (tegak lurus) $L_2$ , syaratnya : $PQ^2 = R^2 + r^2$ .

viii). $L_1$ berpotongan $L_2$ tepat pada diameter salah satu lingkaran (membagi dua bagian sama besar yaitu diameter garis warna merah), syaratnya : $PQ^2 = R^2 - r^2$ .

Keterangan : $PQ = \,$ jarak titik $P \,$ dan $Q$. Catatan : Untuk menentukan kedudukan dua lingkaran, kita hitung dulu jari-jari dan titik pusat masing-masing lingkaran, kemudian kita hitung jarak kedua titik pusat, lalu cek apakah jarak pusat dan jari-jari masing-masing memenuhi jenis kedudukan yang mana seperti syarat di atas yang ada 8 syarat.

Contoh :
1). Tentukan kedudukan lingkaran $L_1 : (x-1)^2 + (y+3)^2 = 25 \,$ dan linkaran $L_2 : (x+ 2)^2 + (y -1)^2 = 9$.
Penyelesaian :
*). Menentukan jari-jari dan pusat masing-masing lingkaran.
$L_1 : (x-1)^2 + (y+3)^2 = 25$
Jari-jari : $r^2 = 25 \rightarrow r = 5 \,$ sebagai $R = 5$
Pusat lingkaran : $A (a,b) = A(1,-3)$

$L_2 : (x+ 2)^2 + (y -1)^2 = 9$
Jari-jari : $r^2 = 9 \rightarrow r = 3$
Pusat lingkaran : $B (a,b) = B(-2,1)$
*). Jarak titik pusat kedua lingkaran : $AB$
jarak titik A(1,-3) dan B(-2,1)
$AB = \sqrt{(-2-1)^2 + (1-(-3))^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
*). Cek kedudukan kedua lingkaran, $AB = 5, \, R = 5, \, r = 3$
$AB = 0 \,$ (tidak memenuhi)
$AB < r < R \,$ (tidak memenuhi)
$AB = R - r \,$ (tidak memenuhi)
$R - r < AB < R + r \,$ (memenuhi)
$AB = R + r \,$ (tidak memenuhi)
$AB > R + r \,$ (tidak memenuhi)
$

Keterangan : $PQ = \,$ jarak titik $P \,$ dan $Q$. Catatan : Untuk menentukan kedudukan dua lingkaran, kita hitung dulu jari-jari dan titik pusat masing-masing lingkaran, kemudian kita hitung jarak kedua titik pusat, lalu cek apakah jarak pusat dan jari-jari masing-masing memenuhi jenis kedudukan yang mana seperti syarat di atas yang ada 8 syarat.

Contoh :
1). Tentukan kedudukan lingkaran $L_1 : (x-1)^2 + (y+3)^2 = 25 \,$ dan linkaran $L_2 : (x+ 2)^2 + (y -1)^2 = 9$.
Penyelesaian :
*). Menentukan jari-jari dan pusat masing-masing lingkaran.
$L_1 : (x-1)^2 + (y+3)^2 = 25$
Jari-jari : $r^2 = 25 \rightarrow r = 5 \,$ sebagai $R = 5$
Pusat lingkaran : $A (a,b) = A(1,-3)$

$L_2 : (x+ 2)^2 + (y -1)^2 = 9$
Jari-jari : $r^2 = 9 \rightarrow r = 3$
Pusat lingkaran : $B (a,b) = B(-2,1)$
*). Jarak titik pusat kedua lingkaran : $AB$
jarak titik A(1,-3) dan B(-2,1)
$AB = \sqrt{(-2-1)^2 + (1-(-3))^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
*). Cek kedudukan kedua lingkaran, $AB = 5, \, R = 5, \, r = 3$
$AB = 0 \,$ (tidak memenuhi)
$AB < r < R \,$ (tidak memenuhi)
$AB = R - r \,$ (tidak memenuhi)
$R - r < AB < R + r \,$ (memenuhi)
$AB = R + r \,$ (tidak memenuhi)
$AB > R + r \,$ (tidak memenuhi)
$AB^2 = R^2 + r^2 \,$ (tidak memenuhi)
$AB^2 = R^2 - r^2 \,$ (tidak memenuhi)
Karena yang memenuhi $R - r < AB < R + r \,$ , maka kedua lingkaran berpotongan.!
Untuk lebih jelasanya, berikut gambar kedua lingkarannya :

Untuk lebih memantapkan pemahaman tentang kedudukan dua lingkaran, sebaiknya teman-teman juga membaca artikel "variasi soal kedudukan dua lingkaran".

Menentukan titik potong atau titik singgung dua lingkaran

       Langkah-langkah menentukan titik potong atau titik singgung kedua lingkaran, yaitu :
*). Eliminasi kedua persamaan lingkaran sehingga terbentuk persamaan garis.
*). Substitusi persamaan garis yang ada ke salah satu lingkaran, lalu tentukan nilai $x \,$ dan $y$ .

Contoh :
2). Tentukan titik potong kedua lingkaran pada soal nomor 1 di atas.
Penyelesaian :
*). Menjabarkan kedua persamaan lingkaran.
$L_1 : (x-1)^2 + (y+3)^2 = 25 \rightarrow x^2 + y^2 - 2x + 6y = 15$
$L_2 : (x+ 2)^2 + (y -1)^2 = 9 \rightarrow x^2 + y^2 + 4x + -2y = 4$
*). Eliminasi kedua persamaan lingkaran ,
$\begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 2x + 6y = 15 & \\ x^2 + y^2 + 4x + -2y = 4 & - \\ \hline -6y + 8y = 11 & \end{array}$
*). Substitusi garis ke lingkaran kedua
$-6x + 8y = 11 \rightarrow y = \frac{1}{8}(11 + 6x)$
$\begin{align} x^2 + y^2 + 4x + -2y & = 4 \\ x^2 + [\frac{1}{8}(11 + 6x)]^2 + 4x + -2[\frac{1}{8}(11 + 6x)] & = 4 \\ x^2 + \frac{1}{64}(36x^2 + 132x + 121) + 4x -\frac{2}{8}(11 + 6x) & = 4 \, \, \, \, \text{(kali 64)} \\ 64x^2 + (36x^2 + 132x + 121) + 256x -16(11 + 6x) & = 256 \\ 64x^2 + (36x^2 + 132x + 121) + 256x -171 - 96x & = 256 \\ 100x^2 + 292x - 306 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 50x^2 + 146x - 153 & = 0 \\ a = 50, \, b = 146, \, c & = -153 \end{align}$
Gunakan rumus ABC : $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4.a.c}}{2a} \,$ pada persamaan kuadrat.
$\begin{align} 50x^2 + 146x - 153 & = 0 \\ a = 50, \, b = 146, \, c & = -153 \\ x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4.a.c}}{2a} \\ x & = \frac{-146 \pm \sqrt{146^2 - 4.50.(-153)}}{2.50} \\ x & = \frac{-146 \pm \sqrt{51916}}{100} \\ x & = \frac{-146 \pm 227,8}{100} \\ x & = \frac{81,8}{100} \\ x_1 & = 0,818 = 0,8 \\ x & = \frac{-146 - 227,8}{100} \\ x & = \frac{-373,8}{100} \\ x_2 & = -3,738 = -3,7 \end{align}$
*). Substitusi nilai $x$ ke persamaan garis $y = \frac{1}{8}(11 + 6x)$
$x_1 = 0,8 \rightarrow y_1 = \frac{1}{8}(11 + 6x) = \frac{1}{8}(11 + 6(0,8)) = 1,98$
$x_2 = -3,7 \rightarrow y_2 = \frac{1}{8}(11 + 6x) = \frac{1}{8}(11 + 6(-3,7)) = -1,4$
Jadi, titik potong kedua lingkaran adalah (0.8 , 1.98) dan (-3.7 , -1.4).