Pertidaksamaan Pecahan merupakan pertidaksamaan yang melibatkan fungsi bentuk pecahan. Pertidaksamaan pecahan juga sering dikaitkan dengan materi fungsi kuadrat yaitu pada bagian difinit positif dan definit negatif. Untuk lebih jelasnya, baca materi berikut.
Bentuk Umum dan penyelesaian pertidaksamaan pecahan
Pertidaksamaan pecahan merupakan pertidaksamaan dengan fungsi dalam bentuk pecahan.
♠ Bentuk umum pertidaksamaan pecahan
ax+bcx+d>0,ax2+bx+cdx+k≤0,f(x)g(x)≥0
♠ Penyelesaian pertidaksamaan pecahan menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum". Dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan, dilarang untuk mengalikan silang karena akan menghilangkan akar-akar penyebutnya.
♠ Syarat pecahan yaitu penyebutnya tidak boleh bernilai nol, sehingga semua akar-akar penyebutnya tidak boleh ikut menjadi solusi.
*). Misalkan tanda ketaksamaannya > atau < maka semua akar tidak ikut sebagai solusi
*). Misalkan tanda ketaksamaannya ≥ atau ≤ maka akar-akar pembilang ikut, dan akar-akar penyebut tidak ikut sebagai solusi.
♠ Kasus Definit pada pertidaksamaan pecahan
Materi Definit merupakan bagian dari materi fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, maka ada dua kemungkinan, yaitu definit positif atau definit negatif.
*). Definit positif artinya nilai ax2+bx+c selalu positif untuk semua nilai x. Syarat definit positif : a>0, dan D<0
♠ Bentuk umum pertidaksamaan pecahan
ax+bcx+d>0,ax2+bx+cdx+k≤0,f(x)g(x)≥0
♠ Penyelesaian pertidaksamaan pecahan menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum". Dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan, dilarang untuk mengalikan silang karena akan menghilangkan akar-akar penyebutnya.
♠ Syarat pecahan yaitu penyebutnya tidak boleh bernilai nol, sehingga semua akar-akar penyebutnya tidak boleh ikut menjadi solusi.
*). Misalkan tanda ketaksamaannya > atau < maka semua akar tidak ikut sebagai solusi
*). Misalkan tanda ketaksamaannya ≥ atau ≤ maka akar-akar pembilang ikut, dan akar-akar penyebut tidak ikut sebagai solusi.
♠ Kasus Definit pada pertidaksamaan pecahan
Materi Definit merupakan bagian dari materi fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, maka ada dua kemungkinan, yaitu definit positif atau definit negatif.
*). Definit positif artinya nilai ax2+bx+c selalu positif untuk semua nilai x. Syarat definit positif : a>0, dan D<0
*). Definit negatif artinya nilai ax2+bx+c selalu negatif untuk semua nilai x. Syarat definit negatif : a<0, dan D<0
nilai Disriminan : D=b2−4ac
Jika terbentuk DEFINIT, coret bentuk kuadrat tersebut. Untuk definit positif tidak perlu membalik tanda kesamaan, sedangakan untuk definit negatif, tanda ketaksamaan dibalaik.
Contoh :
1). Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2x−1x+2≤0 adalah ?
Penyelesaian :
♣ Menentukan akar-akar dari 2x−1x+2
2x−1=0→x=12
x+2=0→x=−2 (akar penyebut tidak boleh ikut)
♣ Garis bilangannya :
Arsir yang negatif, karena yang diminta kurang dari (< ). Jadi, solusinya HP = {−2<x≤12}
2). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan
a). 2x+1x>4−xx b). x≤x+6x+2
Penyelesaian :
a). Menentukan akar-akar
2x+1x>4−xx2x+1x=4−xx2x2x+1x=4−xx2x2x+1x−4−xx=02x2+1−(4−x)x=02x2+x−3x=0(2x+3)(x−1)x=0(2x+3)=0→x=−32(x−1)=0→x=1penyebutnya : x=0
♠ Karena tanda ketaksamaannya >, maka semua akar-akarnya tidak ikut (arsirannya bolong)
♠ Garis bilangannya :
Arsir yang positif karena yang diminta lebih dari (>).
Jadi, HP = {−32<x<0∨x>1}
b). Menentukan akar-akar
x≤x+6x+2x=x+6x+2x−x+6x+2=0x(x+2)(x+2)−x+6x+2=0x2+2x)x+2−x+6x+2=0x2+2x−(x+6))x+2=0x2+x−6x+2=0(x+3)(x−2)x+2=0(x+3)=0→x=−3(x−2)=0→x=2(x+2)=0→x=−2
(akar penyebut tidak boleh ikut, arsirannya bolong, yang lainnya arsiran penuh)
♠ Garis bilangannya :
Arsir yang negatif karena yang diminta kurang dari (≤).
Jadi, HP = {x≤−3∨−2<x≤2}
3). Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan pecahan x2−2x+3(3x2+5x−2)(x2+4)>0 ?
Penyelesaian :
♣ Menentukan akar-akar
*). Bentuk (x2−2x+3) dan (x2+4) tidak punya akar karena nilai diskriminannya negatif (D<0). Nilai a kedua persamaan positif, artinya keduanya difinit positif sehingga bisa dicoret tanpa mempengaruhi pertidaksamaan pecahan semula. Pertidaksamaan menjadi :
x2−2x+3(3x2+5x−2)(x2+4)>0 ekuivalen (setara) dengan 13x2+5x−2>0
*). Akar dari : x2−2x+3=0→(x+2)(3x−1)=0→x=−2∨x=13
(akar-akar penyebutnya tidak boleh ikut).
♣ Garis bilangannya :
nilai Disriminan : D=b2−4ac
Jika terbentuk DEFINIT, coret bentuk kuadrat tersebut. Untuk definit positif tidak perlu membalik tanda kesamaan, sedangakan untuk definit negatif, tanda ketaksamaan dibalaik.
Contoh :
1). Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2x−1x+2≤0 adalah ?
Penyelesaian :
♣ Menentukan akar-akar dari 2x−1x+2
2x−1=0→x=12
x+2=0→x=−2 (akar penyebut tidak boleh ikut)
♣ Garis bilangannya :
Arsir yang negatif, karena yang diminta kurang dari (< ). Jadi, solusinya HP = {−2<x≤12}
2). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan
a). 2x+1x>4−xx b). x≤x+6x+2
Penyelesaian :
a). Menentukan akar-akar
2x+1x>4−xx2x+1x=4−xx2x2x+1x=4−xx2x2x+1x−4−xx=02x2+1−(4−x)x=02x2+x−3x=0(2x+3)(x−1)x=0(2x+3)=0→x=−32(x−1)=0→x=1penyebutnya : x=0
♠ Karena tanda ketaksamaannya >, maka semua akar-akarnya tidak ikut (arsirannya bolong)
♠ Garis bilangannya :
Arsir yang positif karena yang diminta lebih dari (>).
Jadi, HP = {−32<x<0∨x>1}
b). Menentukan akar-akar
x≤x+6x+2x=x+6x+2x−x+6x+2=0x(x+2)(x+2)−x+6x+2=0x2+2x)x+2−x+6x+2=0x2+2x−(x+6))x+2=0x2+x−6x+2=0(x+3)(x−2)x+2=0(x+3)=0→x=−3(x−2)=0→x=2(x+2)=0→x=−2
(akar penyebut tidak boleh ikut, arsirannya bolong, yang lainnya arsiran penuh)
♠ Garis bilangannya :
Arsir yang negatif karena yang diminta kurang dari (≤).
Jadi, HP = {x≤−3∨−2<x≤2}
3). Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan pecahan x2−2x+3(3x2+5x−2)(x2+4)>0 ?
Penyelesaian :
♣ Menentukan akar-akar
*). Bentuk (x2−2x+3) dan (x2+4) tidak punya akar karena nilai diskriminannya negatif (D<0). Nilai a kedua persamaan positif, artinya keduanya difinit positif sehingga bisa dicoret tanpa mempengaruhi pertidaksamaan pecahan semula. Pertidaksamaan menjadi :
x2−2x+3(3x2+5x−2)(x2+4)>0 ekuivalen (setara) dengan 13x2+5x−2>0
*). Akar dari : x2−2x+3=0→(x+2)(3x−1)=0→x=−2∨x=13
(akar-akar penyebutnya tidak boleh ikut).
♣ Garis bilangannya :
Arsir yang negatif karena yang diminta kurang dari (≤).
Jadi, HP = {x≤−3∨−2<x≤2}
3). Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan pecahan x2−2x+3(3x2+5x−2)(x2+4)>0 ?
Penyelesaian :
♣ Menentukan akar-akar
*). Bentuk (x2−2x+3) dan (x2+4) tidak punya akar karena nilai diskriminannya negatif (D<0). Nilai a kedua persamaan positif, artinya keduanya difinit positif sehingga bisa dicoret tanpa mempengaruhi pertidaksamaan pecahan semula. Pertidaksamaan menjadi :
x2−2x+3(3x2+5x−2)(x2+4)>0 ekuivalen (setara) dengan 13x2+5x−2>0
*). Akar dari : x2−2x+3=0→(x+2)(3x−1)=0→x=−2∨x=13
(akar-akar penyebutnya tidak boleh ikut).
♣ Garis bilangannya :
Arsir yang positif karena yang diminta lebih dari (>).
Jadi, HP = {x<−2∨x>13}
4). Tentukan semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan pecahan
x2+3(x2+x−2)(−x2+4x−5)+2≥2(2x−1)(2x−1)
Penyelesaian :
♠ Menyederhanakan pertidaksamaannya
x2+3(x2+x−2)(−x2+4x−5)+2≥2(2x−1)(2x−1)(coret 2x−1 dengan syarat x≠12)x2+3(x2+x−2)(−x2+4x−5)+2≥21x2+3(x2+x−2)(−x2+4x−5)+2≥2x2+3(x2+x−2)(−x2+4x−5)≥0
HP1 = {x≠12
♠ Menentukan akar-akar
*). Bentuk x2+3 adalah definit positif sehingga bisa dicoret. Pertidaksamaan menjadi
x2+3(x2+x−2)(−x2+4x−5)≥0 ekuivalen dengan 1(x2+x−2)(−x2+4x−5)≥0
*). Bentuk −x2+4x−5 adalah definit negatif. Karena definit negatif, −x2+4x−5 bisa dicoret dengan membalik tanda ketaksamaan. Pertidaksamaan menjadi : 1(x2+x−2)(−x2+4x−5)≥0 ekuivalen dengan 1x2+x−2≤0
*). Akar-akar dari x2+x−2=0→(x+2)(x−1)=0→x=−2∨x=1
(akar-akar penyebut tidak boleh ikut)
♠ Garis bilangannya
Arsir yang negatif karena yang diminta kurang dari (≤).
HP2 = {−2<x<1}
Jadi, HP = HP1∩HP2={−2<x<12∨12<x<1}
Jadi, HP = {x≤−3∨−2<x≤2}
3). Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan pecahan x2−2x+3(3x2+5x−2)(x2+4)>0 ?
Penyelesaian :
♣ Menentukan akar-akar
*). Bentuk (x2−2x+3) dan (x2+4) tidak punya akar karena nilai diskriminannya negatif (D<0). Nilai a kedua persamaan positif, artinya keduanya difinit positif sehingga bisa dicoret tanpa mempengaruhi pertidaksamaan pecahan semula. Pertidaksamaan menjadi :
x2−2x+3(3x2+5x−2)(x2+4)>0 ekuivalen (setara) dengan 13x2+5x−2>0
*). Akar dari : x2−2x+3=0→(x+2)(3x−1)=0→x=−2∨x=13
(akar-akar penyebutnya tidak boleh ikut).
♣ Garis bilangannya :
Arsir yang positif karena yang diminta lebih dari (>).
Jadi, HP = {x<−2∨x>13}
4). Tentukan semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan pecahan
x2+3(x2+x−2)(−x2+4x−5)+2≥2(2x−1)(2x−1)
Penyelesaian :
♠ Menyederhanakan pertidaksamaannya
x2+3(x2+x−2)(−x2+4x−5)+2≥2(2x−1)(2x−1)(coret 2x−1 dengan syarat x≠12)x2+3(x2+x−2)(−x2+4x−5)+2≥21x2+3(x2+x−2)(−x2+4x−5)+2≥2x2+3(x2+x−2)(−x2+4x−5)≥0
HP1 = {x≠12
♠ Menentukan akar-akar
*). Bentuk x2+3 adalah definit positif sehingga bisa dicoret. Pertidaksamaan menjadi
x2+3(x2+x−2)(−x2+4x−5)≥0 ekuivalen dengan 1(x2+x−2)(−x2+4x−5)≥0
*). Bentuk −x2+4x−5 adalah definit negatif. Karena definit negatif, −x2+4x−5 bisa dicoret dengan membalik tanda ketaksamaan. Pertidaksamaan menjadi : 1(x2+x−2)(−x2+4x−5)≥0 ekuivalen dengan 1x2+x−2≤0
*). Akar-akar dari x2+x−2=0→(x+2)(x−1)=0→x=−2∨x=1
(akar-akar penyebut tidak boleh ikut)
♠ Garis bilangannya
Arsir yang negatif karena yang diminta kurang dari (≤).
HP2 = {−2<x<1}
Jadi, HP = HP1∩HP2={−2<x<12∨12<x<1}
EmoticonEmoticon