Contoh Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Pecahan

         Pertidaksamaan Pecahan merupakan pertidaksamaan yang melibatkan fungsi bentuk pecahan. Pertidaksamaan pecahan juga sering dikaitkan dengan materi fungsi kuadrat yaitu pada bagian difinit positif dan definit negatif. Untuk lebih jelasnya, baca materi berikut.

Bentuk Umum dan penyelesaian pertidaksamaan pecahan

       Pertidaksamaan pecahan merupakan pertidaksamaan dengan fungsi dalam bentuk pecahan.

$\spadesuit$ Bentuk umum pertidaksamaan pecahan
$\frac{ax+b}{cx+d} > 0, \, \frac{ax^2+bx+c}{dx+k} \leq 0, \, \frac{f(x)}{g(x)} \geq 0$

$\spadesuit$ Penyelesaian pertidaksamaan pecahan menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum". Dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan, dilarang untuk mengalikan silang karena akan menghilangkan akar-akar penyebutnya.

$\spadesuit$ Syarat pecahan yaitu penyebutnya tidak boleh bernilai nol, sehingga semua akar-akar penyebutnya tidak boleh ikut menjadi solusi.
*). Misalkan tanda ketaksamaannya $> \,$ atau $< \,$ maka semua akar tidak ikut sebagai solusi
*). Misalkan tanda ketaksamaannya $\geq \,$ atau $\leq \,$ maka akar-akar pembilang ikut, dan akar-akar penyebut tidak ikut sebagai solusi.

$\spadesuit$ Kasus Definit pada pertidaksamaan pecahan
Materi Definit merupakan bagian dari materi fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, maka ada dua kemungkinan, yaitu definit positif atau definit negatif.
*). Definit positif artinya nilai $ax^2 + bx + c \,$ selalu positif untuk semua nilai $x$. Syarat definit positif : $a > 0 , \,$ dan $D < 0$

*). Definit negatif artinya nilai $ax^2 + bx + c \,$ selalu negatif untuk semua nilai $x$. Syarat definit negatif : $a < 0 , \,$ dan $D < 0$
nilai Disriminan : $D = b^2 - 4ac$

Jika terbentuk DEFINIT, coret bentuk kuadrat tersebut. Untuk definit positif tidak perlu membalik tanda kesamaan, sedangakan untuk definit negatif, tanda ketaksamaan dibalaik.
Contoh :
1). Nilai $x \,$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{2x-1}{x+2} \leq 0 \,$ adalah ?
Penyelesaian :
$\clubsuit$ Menentukan akar-akar dari $\frac{2x-1}{x+2}$
$2x - 1 = 0 \rightarrow x = \frac{1}{2}$
$x + 2 = 0 \rightarrow x = -2 \,$ (akar penyebut tidak boleh ikut)
$\clubsuit$ Garis bilangannya :

Arsir yang negatif, karena yang diminta kurang dari ($<$ ). Jadi, solusinya HP = $\{ -2 < x \leq \frac{1}{2} \}$

2). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan
a). $2x + \frac{1}{x} > \frac{4-x}{x} \, \, \, \, \,$ b). $x \leq \frac{x+6}{x+2}$
Penyelesaian :
a). Menentukan akar-akar
$\begin{align} 2x + \frac{1}{x} & > \frac{4-x}{x} \\ 2x + \frac{1}{x} & = \frac{4-x}{x} \\ \frac{2x^2}{x} + \frac{1}{x} & = \frac{4-x}{x} \\ \frac{2x^2}{x} + \frac{1}{x} - \frac{4-x}{x} & = 0 \\ \frac{2x^2 + 1 - (4-x)}{x} & = 0 \\ \frac{2x^2 + x - 3}{x} & = 0 \\ \frac{(2x+3)(x-1)}{x} & = 0 \\ (2x+3) & = 0 \rightarrow x = -\frac{3}{2} \\ (x-1) & = 0 \rightarrow x = 1 \\ \text{penyebutnya : } \, x & = 0 \end{align}$
$\spadesuit$ Karena tanda ketaksamaannya $> , \,$ maka semua akar-akarnya tidak ikut (arsirannya bolong)
$\spadesuit$ Garis bilangannya :

Arsir yang positif karena yang diminta lebih dari ($>$).
Jadi, HP = $\{ -\frac{3}{2} < x < 0 \vee x > 1 \}$

b). Menentukan akar-akar
$\begin{align} x & \leq \frac{x+6}{x+2} \\ x & = \frac{x+6}{x+2} \\ x - \frac{x+6}{x+2} & = 0 \\ x \frac{(x+2)}{(x+2)} - \frac{x+6}{x+2} & = 0 \\ \frac{x^2 + 2x)}{x+2} - \frac{x+6}{x+2} & = 0 \\ \frac{x^2 + 2x - (x+6))}{x+2} & = 0 \\ \frac{x^2 + x - 6}{x+2} & = 0 \\ \frac{(x+3)(x-2)}{x+2} & = 0 \\ (x+3) & = 0 \rightarrow x = -3 \\ (x - 2) & = 0 \rightarrow x = 2 \\ (x + 2) & = 0 \rightarrow x = - 2 \end{align}$
(akar penyebut tidak boleh ikut, arsirannya bolong, yang lainnya arsiran penuh)
$\spadesuit$ Garis bilangannya :

Arsir yang negatif karena yang diminta kurang dari ($\leq$).
Jadi, HP = $\{ x \leq -3 \vee -2 < x \leq 2 \}$

3). Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan pecahan $\frac{x^2 - 2x + 3 }{(3x^2+5x-2)(x^2+4)} > 0$ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit$ Menentukan akar-akar
*). Bentuk $(x^2 - 2x + 3) \,$ dan $(x^2+4) \,$ tidak punya akar karena nilai diskriminannya negatif ($D < 0$). Nilai $a \,$ kedua persamaan positif, artinya keduanya difinit positif sehingga bisa dicoret tanpa mempengaruhi pertidaksamaan pecahan semula. Pertidaksamaan menjadi :
$\frac{x^2 - 2x + 3 }{(3x^2+5x-2)(x^2+4)} > 0 \,$ ekuivalen (setara) dengan $\frac{1 }{3x^2+5x-2} > 0$
*). Akar dari : $x^2 - 2x + 3 = 0 \rightarrow (x+2)(3x-1)=0 \rightarrow x = -2 \vee x = \frac{1}{3}$
(akar-akar penyebutnya tidak boleh ikut).
$\clubsuit$ Garis bilangannya :

Arsir yang negatif karena yang diminta kurang dari ($\leq$).
Jadi, HP = $\{ x \leq -3 \vee -2 < x \leq 2 \}$

3). Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan pecahan $\frac{x^2 - 2x + 3 }{(3x^2+5x-2)(x^2+4)} > 0$ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit$ Menentukan akar-akar
*). Bentuk $(x^2 - 2x + 3) \,$ dan $(x^2+4) \,$ tidak punya akar karena nilai diskriminannya negatif ($D < 0$). Nilai $a \,$ kedua persamaan positif, artinya keduanya difinit positif sehingga bisa dicoret tanpa mempengaruhi pertidaksamaan pecahan semula. Pertidaksamaan menjadi :
$\frac{x^2 - 2x + 3 }{(3x^2+5x-2)(x^2+4)} > 0 \,$ ekuivalen (setara) dengan $\frac{1 }{3x^2+5x-2} > 0$
*). Akar dari : $x^2 - 2x + 3 = 0 \rightarrow (x+2)(3x-1)=0 \rightarrow x = -2 \vee x = \frac{1}{3}$
(akar-akar penyebutnya tidak boleh ikut).
$\clubsuit$ Garis bilangannya :

Arsir yang positif karena yang diminta lebih dari ($>$).
Jadi, HP = $\{ x < -2 \vee x > \frac{1}{3} \}$

4). Tentukan semua nilai $x \,$ yang memenuhi pertidaksamaan pecahan
$\frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} + 2 \geq \frac{2(2x-1)}{(2x-1)}$
Penyelesaian :
$\spadesuit$ Menyederhanakan pertidaksamaannya
$\begin{align} \frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} + 2 & \geq \frac{2(2x-1)}{(2x-1)} \\ \text{(coret } 2x-1 \, \text{ dengan syarat } x & \neq \frac{1}{2} ) \\ \frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} + 2 & \geq \frac{2}{1} \\ \frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} + 2 & \geq 2 \\ \frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} & \geq 0 \end{align}$
HP1 = $\{ x \neq \frac{1}{2}$
$\spadesuit$ Menentukan akar-akar
*). Bentuk $x^2 + 3 \,$ adalah definit positif sehingga bisa dicoret. Pertidaksamaan menjadi
$\frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} \geq 0 \,$ ekuivalen dengan $\frac{1}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} \geq 0$
*). Bentuk $-x^2+4x-5 \,$ adalah definit negatif. Karena definit negatif, $-x^2+4x-5 \,$ bisa dicoret dengan membalik tanda ketaksamaan. Pertidaksamaan menjadi : $\frac{1}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} \geq 0 \,$ ekuivalen dengan $\frac{1}{x^2+x-2} \leq 0$
*). Akar-akar dari $x^2+x-2 = 0 \rightarrow (x+2)(x-1) = 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 1$
(akar-akar penyebut tidak boleh ikut)
$\spadesuit$ Garis bilangannya

Arsir yang negatif karena yang diminta kurang dari ($\leq$).
HP2 = $\{ -2 < x < 1 \}$
Jadi, HP = $HP1 \cap HP2 = \{ -2 < x < \frac{1}{2} \vee \frac{1}{2} < x < 1 \}$