Contoh Soal dan pembahasan Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak

         Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak merupakan pertidaksamaan yang melibatkan bentuk nilai mutlak. Untuk memudahkan memahami pertidaksamaan bentuk nilai mutlak ini, sebaiknya kita mempelajari dahulu materi "Pertidaksamaan secara Umum", "Sifat-sifat Pertidaksamaan", "Pertidaksamaan Linear", "Pertidaksamaan Kuadrat", "Pertidaksamaan Pecahan", dan "Pertidaksamaan Bentuk Akar".

Definisi Nilai Mutlak

       Nilai mutlak dari suatu bilangan $x \,$ dinotasikan $|x|$ .
Definisi nilai mutlak $x \,$ ($|x|$) :
              $|x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right.$
Artinya $|x| = x \,$ atau $|x| = -x \,$ tergantung nilai $x$

Dengan definisi nilai mutlak, maka nilai mutlak setiap bilangan nilainya selalu positif.

Contoh :
1). $|3| = 3 \, \, \,$ dan $|-3| = -(-3) = 3$

2). Jabarkan bentuk mutlak $| x - 1 | \,$ berdasarkan definisi nilai mutlak sehingga tanda mutlaknya hilang.!
Penyelesaian :
$|x-1| = \left\{ \begin{array}{cc} x - 1 & , x - 1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1 \\ -(x - 1) & , x - 1 < 0 \rightarrow x < 1 \end{array} \right.$
Jadi, untuk $x \geq 1, \,$ nilai $|x-1| = x-1 \,$ dan untuk $x < 1 \,$ nilai $|x-1| = -(x-1)$

3). Tentukan nilai $| 2 - \sqrt{5} | - \sqrt{5} + 4 - |-1|$ ?
Penyelesaian :
*). $| 2 - \sqrt{5} | = - (2-\sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2 \,$ (karena nilai $2 - \sqrt{5} < 0$ )

*). $|-1| = - (-1) = 1$
*). Menentukan hasilnya :
$| 2 - \sqrt{5} | - \sqrt{5} + 4 - |-1| = (\sqrt{5} - 2 ) - \sqrt{5} + 4 - (1) = 1$

Sifat-sifat Nilai Mutlak

       Berikut beberapa sifat-sifat nilai mutlak yang dapat kita gunakan untuk mengerjakan soal-soal pertidaksamaan bentuk nilai mutlak.
Sifat-sifat nilai mutlak :
1). $|x| = \sqrt{x^2}$
2). $|x|^2 = x^2$
3). $|x| < |y| \rightarrow (x-y)(x+y) < 0$
(berlaku juga untuk $|x| > |y| \rightarrow (x-y)(x+y) > 0$ )
4). $|x| < a \rightarrow -a < x < a$
(berlaku juga $|x| \leq a \rightarrow -a \leq x \leq a$ )
5). $|x| > a \rightarrow x < -a \, \text{ atau } \, x > a$
(berlaklu juga $|x| \geq a \rightarrow x \leq -a \, \text{ atau } \, x \geq a$
6). $\left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|}$
7). $|x.y| = |x|.|y|$

Contoh
1). Tentukan semua nilai $x \,$ yang memenuhi $| x - 1 | < 3$ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit$ Berdasarkan sifat 4 : nilai $a = 3$
$\begin{align} | x & - 1 | < 3 \\ -3 < x & - 1 < 3 \, \, \, \, \text{(tambahkan 1 ke semua ruas)} \\ -3 + 1 < x & - 1 + 1 < 3 + 1 \\ -2 < x & < 4 \end{align}$
Jadi, nilai $x \,$ yang memenuhi adalah $\{ -2 < x < 4 \}$ .

2). Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\frac{|x| + 1 }{x} \leq 2 , \,$ untuk $x \in R \,$ adalah ...?
Penyelesaian :
$\clubsuit$ Berdasarkan definisi nilai mutlak :
$|x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right.$
Artinya penyelesaian kita bagi menjadi dua kasus :
*). Untuk $x \geq 0 , \,$ nilai $|x| = x$
$\begin{align} \frac{|x| + 1 }{x} & \leq 2 \\ \frac{x + 1 }{x} & \leq 2 \\ \frac{x + 1 }{x} - 2 & \leq 0 \\ \frac{x + 1 }{x} - \frac{2x}{x} & \leq 0 \\ \frac{x + 1 - 2x }{x} & \leq 0 \\ \frac{-x + 1 }{x} & \leq 0 \end{align}$
Akar pembilang : $-x + 1 = 0 \rightarrow x = 1$
Akar penyebut : $x = 0 \,$ (akar penyebut tidak ikut)
Garis bilangannya :

Karena $x \geq 0, \,$ maka HP1 = $\{ x \geq 0 \} \cap \{ x < 0 \vee x \geq 1 \} = \{ x \geq 1 \}$
*). Untuk $x < 0 , \,$ nilai $|x| = -x$
$\begin{align} \frac{|x| + 1 }{x} & \leq 2 \\ \frac{-x + 1 }{x} & \leq 2 \\ \frac{-x + 1 }{x} - 2 & \leq 0 \\ \frac{-x + 1 }{x} - \frac{2x}{x} & \leq 0 \\ \frac{-x + 1 - 2x }{x} & \leq 0 \\ \frac{-3x + 1 }{x} & \leq 0 \end{align}$
Akar pembilang : $-3x + 1 = 0 \rightarrow x = \frac{1}{3}$
Akar penyebut : $x = 0 \,$ (akar penyebut tidak ikut)
Garis bilangannya :

Karena $x < 0, \,$ maka HP2 = $\{ x < 0 \} \cap \{ x < 0 \vee x \geq \frac{1}{3} \} = \{ x < 0 \}$
Jadi, solusinya : HP = $HP1 \cup HP2 = \{ x < 0 \, \text{ atau } \, x \geq 1 \}$

3). Tentukan himpunan penelesaian pertidaksamaan $\left| \frac{x-1}{x+2} \right| \geq 1$ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit$ Kuadratkan kedua ruas berdasarkan sifat 2,
$\begin{align} \left| \frac{x-1}{x+2} \right| & \geq 1 \\ \left| \frac{x-1}{x+2} \right|^2 & \geq 1^2 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} \right)^2 & \geq 1 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} \right)^2 - 1 & \geq 0 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} - 1 \right)\left( \frac{x-1}{x+2} + 1 \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} - \frac{x+2}{x+2} \right)\left( \frac{x-1}{x+2} + \frac{x+2}{x+2} \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{(x-1)-(x+2)}{x+2} \right)\left( \frac{(x-1)+(x+2)}{x+2} \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{-3}{x+2} \right)\left( \frac{2x + 1 }{x+2} \right) & \geq 0 \\ \frac{-3(2x+1)}{(x+2)^2} & \geq 0 \end{align}$
akar pembilang : $2x + 1 = 0 \rightarrow x = -\frac{1}{2}$
akar penyebut : $x + 2 = 0 \rightarrow x = -2$
*). Garis bilangannya

Jadi, solusinya HP = $\{ x < -2 \vee -2 < x < -\frac{1}{2} \}$

4). Penyelesaian dari pertidaksamaan $|3x-1| > |x+1| \,$ adalah ...?
Penyelesaian :
$\clubsuit$ Berdasarkan sifat 3 : $|A| > |B| \rightarrow (A-B)(A+B)>0$
Misalkan $A = 3x -1 \,$ dan $B = x + 1$
$\begin{align} |3x-1| & > |x+1| \\ [(3x-1)-(x+1)][(3x-1)+(x+1)] & > 0 \\ [2x - 2][4x] & > 0 \\ x = 1 \vee x & = 0 \end{align}$

$\begin{align} \left| \frac{x-1}{x+2} \right| & \geq 1 \\ \left| \frac{x-1}{x+2} \right|^2 & \geq 1^2 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} \right)^2 & \geq 1 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} \right)^2 - 1 & \geq 0 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} - 1 \right)\left( \frac{x-1}{x+2} + 1 \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} - \frac{x+2}{x+2} \right)\left( \frac{x-1}{x+2} + \frac{x+2}{x+2} \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{(x-1)-(x+2)}{x+2} \right)\left( \frac{(x-1)+(x+2)}{x+2} \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{-3}{x+2} \right)\left( \frac{2x + 1 }{x+2} \right) & \geq 0 \\ \frac{-3(2x+1)}{(x+2)^2} & \geq 0 \end{align}$
akar pembilang : $2x + 1 = 0 \rightarrow x = -\frac{1}{2}$
akar penyebut : $x + 2 = 0 \rightarrow x = -2$
*). Garis bilangannya

Jadi, solusinya HP = $\{ x < -2 \vee -2 < x < -\frac{1}{2} \}$

4). Penyelesaian dari pertidaksamaan $|3x-1| > |x+1| \,$ adalah ...?
Penyelesaian :
$\clubsuit$ Berdasarkan sifat 3 : $|A| > |B| \rightarrow (A-B)(A+B)>0$
Misalkan $A = 3x -1 \,$ dan $B = x + 1$
$\begin{align} |3x-1| & > |x+1| \\ [(3x-1)-(x+1)][(3x-1)+(x+1)] & > 0 \\ [2x - 2][4x] & > 0 \\ x = 1 \vee x & = 0 \end{align}$

Jadi, solusinya HP = $\{ x < 0 \vee x > 1 \}$

5). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari $\left| |x| + x \right| \leq 2$ !
Penyelesaian :
$\spadesuit$ Berdasarkan definisi nilai mutlak :
$|x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right.$
Artinya penyelesaian kita bagi menjadi dua kasus :
*). Untuk $x \geq 0 , \,$ nilai $|x| = x$
$\left| |x| + x \right| = | x + x| = 2x$
$\begin{align} \left| |x| + x \right| & \leq 2 \\ 2x & \leq 2 \\ x & \leq 1 \end{align}$
Diperoleh HP1 = $\{ x \leq 1 \}$
*). Untuk $x < 0 , \,$ nilai $|x| = -x$
$\left| |x| + x \right| = | -x + x| = 0$
$\begin{align} \left| |x| + x \right| & \leq 2 \\ 0 & \leq 2 \, \, \, \, \text{(benar)} \end{align}$
Artinya semua nilai $x < 0 \,$ memenuhi pertidaksamaan.
Diperoleh HP2 = $\{ x < 0 \}$
Jadi, solusinya HP = $HP1 \cup HP2 = \{ x < 0 \} \cup \{ x \leq 1 \} = \{ x \leq 1 \}$

6). Jika $x < 3 \,$ dan $\left| |x-5| - 2 \right| < x , \,$ maka tentukan semua nilai $x \,$ yang memenuhi!
Penyelesaian :
$\clubsuit$ Definisi nilai mutlak : $|x-5| = \left\{ \begin{array}{cc} x-5 & , x \geq 5 \\ -(x-5) & , x < 5 \end{array} \right.$
Karena yang diminta $x < 3, \,$ maka $|x-5| = -(x-5) = 5 - x$
Sehingga : $\left| |x-5| - 2 \right| = \left| (5-x) - 2 \right| = | 3 - x |$
$\clubsuit$ Definisi nilai mutlak : $|3 - x| = \left\{ \begin{array}{cc} 3 - x & , x \leq 3 \\ -(3-x) & , x > 3 \end{array} \right.$
Karena yang diminta $x < 3, \,$ maka $|3-x| = 3 - x$
Artinya bentuk $\left| |x-5| - 2 \right| = 3 - x$
$\clubsuit$ Menyelesaikan pertidaksamaan
$\begin{align} \left| |x-5| - 2 \right| & < x \\ | 3 - x | & < x \\ 3 - x & < x \\ - 2x & < -3 \, \, \, \, \text{(bagi -2, tanda dibalik)} \\ x & > \frac{3}{2} \end{align}$
Jadi, HP = $\{ x > \frac{3}{2} \} \cap \{ x < 3 \} = \{ \frac{3}{2} < x < 3 \}$