Contoh Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Kuadrat

         Pertidaksamaan Kuadrat erat kaitannya dengan persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat. Untuk memudahkan dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, sebaiknya baca dulu materi "Pertidaksamaan secara umum" dan "sifat-sifat pertidaksamaan".

Bentuk Umum dan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat

       Pertidaksamaan kuadrat merupakan pertidaksamaan dengan pangkat variabelnya dua.
$\spadesuit$ Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat
$ax^2 + bx + c < 0, \, ax^2 + bx + c > 0,$
$ax^2 + bx + c \leq 0, \, ax^2 + bx + c \geq 0$
dengan $a \neq 0 , \,$ dan $a,b,c \in R$

$\spadesuit$ Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum"

$\spadesuit$ Kasus Definit.
Materi Definit merupakan bagian dari materi fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, maka ada dua kemungkinan, yaitu definit positif atau definit negatif.
*). Definit positif artinya nilai $ax^2 + bx + c \,$ selalu positif untuk semua nilai $x$. Syarat definit positif : $a > 0 , \,$ dan $D < 0$
*). Definit negatif artinya nilai $ax^2 + bx + c \,$ selalu negatif untuk semua nilai $x$. Syarat definit negatif : $a < 0 , \,$ dan $D < 0$
nilai Disriminan : $D = b^2 - 4ac$

Contoh :
1). Nilai $x \,$ yang memenuhi pertidaksamaan $x^2 - x - 6 < 0 \,$ adalah ....?
Penyelesaian :
$\clubsuit$ Menentukan akar-akar
$\begin{align} x^2 - x - 6 & < 0 \\ (x+2)(x-3) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 3 \end{align}$

$\clubsuit$ Garis bilangan

Jadi, solusinya HP = $\{ -2 < x < 3 \}$

2). Tentukan himpunan penyelesaian dari
a). $2x^2 - 3x + 4 > 0 \, \, \,$ b). $-x^2 + 2x - 3 > 0$
Penyelesaian :
a). $2x^2 - 3x + 4 > 0$
Bentuk $2x^2 - 3x + 4 = 0 \,$ tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol. $D = b^2 -4ac = (-3)^2 - 4.2.4 = 9 - 32 = - 23$ . Diperoleh nilai $a = 2 > 0 , \,$ dan nilai $D < 0$ . Karena nilai $a > 0 \,$ dan $D < 0 , \,$ artinya terjadi kasusu definit positif, sehingga semua nilai $x \,$ pasti memenuhi $2x^2 - 3x + 4 > 0 \,$ (positif).
Jadi, solusinya HP = $\{ x \in R \} \,$.
(artinya semua nilai $x \,$ memenuhi pertidaksamaan)

b). $-x^2 + 2x - 3 > 0$
Bentuk $-x^2 + 2x - 3 = 0 \,$ tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya negatif. $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4.(-1).(-3) = 4 - 12 = -8$
Diperoleh nilai $a = -1 < 0 \,$ dan $D < 0 \,$ . Karena nilai $a < 0 \,$ dan $D < 0 \,$ artinya terjadi kasus definit negatif, sehingga untuk semua nilai $x \,$ nilai $-x^2 + 2x - 3 \,$ adalah negatif. ($-x^2 + 2x - 3 < 0$).
Sementara pada soal yang diminta adalah $-x^2 + 2x - 3 > 0 \,$ (positif), sehingga tidak ada nilai $x \,$ yang memenuhi $-x^2 + 2x - 3 > 0 .$
Jadi, solusinya HP = $\{ \}$ (Himpunan kosong).

3). Jika himpunan penyelesaian $2x^2 + 5x - 3 \geq 0 \,$ adalah $x \leq a \,$ atau $x \geq b, \,$
maka nilai $2b - a = ...$ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit$ Menentukan akar-akar
$2x^2 + 5x - 3 = 0 \rightarrow (2x-1)(x+3)=0 \rightarrow x = \frac{1}{2} \vee x = -3$
$\spadesuit$ Garis bilangannya

Jadi, HP = $\{ x \leq -3 \vee x \geq \frac{1}{2} \}$
$\spadesuit$ Karena solusinya $x \leq a \,$ atau $x \geq b \,$ sama dengan $x \leq -3 \,$ atau $x \geq \frac{1}{2}, \,$ maka nilai $a = -3 \,$ dan $b = \frac{1}{2}$
Sehingga nilai $2b - a = 2 . \frac{1}{2} - (-3) = 1 + 3 = 4$
Jadi, nilai $2b - a = 4$

4). Tentukan nilai $p \,$ agar setiap nilai $x \,$ memenuhi pertidaksamaan $(p+1)x^2 + 2x - \left( \frac{p-4}{4} \right) > 0$
Penyelesaian :
$\clubsuit$ Bentuk $(p+1)x^2 + 2x - \left( \frac{p-4}{4} \right) \rightarrow a = p+1, \, b = 2, \, c = - \frac{p-4}{4}$
$\clubsuit$ Ini kasus definit positif karena setiap nilai $x \,$ nilai $(p+1)x^2 + 2x - \left( \frac{p-4}{4} \right) > 0 \,$ selalu positif.
$\clubsuit$ Syarat definit positif : $a > 0 \,$ dan $D < 0$
*). $a > 0 \rightarrow p + 1 > 0 \rightarrow p > -1 \,$ ....(HP1)
*). $D < 0$
$\begin{align} b^2 - 4ac & < 0 \\ 2^2 - 4.(p+1).\left( - \frac{p-4}{4} \right) & < 0 \\ 4 + (p+1).(p-4) & < 0 \\ 4 + p^2 - 3p - 4 & < 0 \\ p^2 - 3p & < 0 \\ p(p-3) & < 0 \\ p = 0 \vee p & = 3 \end{align}$

HP2 = $\{ 0 < p < 3 \}$
Sehingga solusinya :
$HP = HP1 \cap HP2 = \{ p > -1 \} \cap \{ 0 < p < 3 \} = \{ 0 < p < 3 \}$
Jadi, nilai $p \,$ yang memenuhi adalah $\{ 0 < p < 3 \}$

5). Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :
a. $(x^2-4x+5)(x^2+x-2) < 0 \, \, \, \,$ b. $(x-1)(-x^2+2x-3) \geq 0$
Penyelesaian :
a). Menentukan akar-akar dari $(x^2-4x+5)(x^2+x-2) < 0$
*). Bentuk $x^2-4x+5 = 0 \,$ tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol ($D<0 a="1" nilai=""> 0 \,$ , artinya $x^2-4x+5 \,$ definit positif. Karena $x^2-4x+5 \,$ definit positif, maka untuk setiap $x \,$ tidak mempengaruhi pertidaksamaan, sehingga bisa diabaikan/dicoret dengan menganggap sebagai konstanta yang selalu positif. Pertidaksamaan menjadi :
$(x^2-4x+5)(x^2+x-2) < 0 \,$ ekuivalen(setara) dengan $x^2+x-2 < 0$
*). Menentukan akar-akar dari $x^2+x-2 < 0$
$x^2+x-2 = 0 \rightarrow (x+2)(x-1) = 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 1$

HP2 = $\{ 0 < p < 3 \}$
Sehingga solusinya :
$HP = HP1 \cap HP2 = \{ p > -1 \} \cap \{ 0 < p < 3 \} = \{ 0 < p < 3 \}$
Jadi, nilai $p \,$ yang memenuhi adalah $\{ 0 < p < 3 \}$

5). Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :
a. $(x^2-4x+5)(x^2+x-2) < 0 \, \, \, \,$ b. $(x-1)(-x^2+2x-3) \geq 0$
Penyelesaian :
a). Menentukan akar-akar dari $(x^2-4x+5)(x^2+x-2) < 0$
*). Bentuk $x^2-4x+5 = 0 \,$ tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol ($D<0 a="1" nilai=""> 0 \,$ , artinya $x^2-4x+5 \,$ definit positif. Karena $x^2-4x+5 \,$ definit positif, maka untuk setiap $x \,$ tidak mempengaruhi pertidaksamaan, sehingga bisa diabaikan/dicoret dengan menganggap sebagai konstanta yang selalu positif. Pertidaksamaan menjadi :
$(x^2-4x+5)(x^2+x-2) < 0 \,$ ekuivalen(setara) dengan $x^2+x-2 < 0$
*). Menentukan akar-akar dari $x^2+x-2 < 0$
$x^2+x-2 = 0 \rightarrow (x+2)(x-1) = 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 1$

Jadi, solusinya HP = $\{ -2 < x < 1 \}$

b). Menentukan akar-akar dari $-x^2+2x-3 = 0$
*). Bentuk $-x^2+2x-3 \,$ tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol ($D<0 -x="" 0="" :="" a="-1" artinya="" bisa="" br="" dan="" definit="" dengan="" dibalik="" dicoret="" karena="" ketaksamaan="" konstanta="" maka="" menganggap="" menjadi="" negatif.="" negatif="" nilai="" pertidaksamaan="" sebagai="" tanda="" x-3="">$ (x-1)(-x^2+2x-3) \geq 0 \, $ekuivalen(setara)$ (x-1) \leq 0 $*). Penyelesaian :$ x - 1 \leq 0 \rightarrow x \leq 1 $Jadi, HP =$\{ x \leq 1 \} $6). Untuk$ p \in R \, $dan$ -3 < p < 5 , \, $tentukan semua nilai$ x \, $yang memnuhi$ (x^2-px + 7)(x-1)^2(x+2) > 0 \, $! Penyelesaian : *). Menentukan akar-akar Untuk$ - 3 < p < 5, \, $bentuk$ x^2-px + 7 \, $tidak punya akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol ($D=b^2-4ac = (-p)2 - 4.1.7 = p^2 - 28 < 0 \, $dengan$ -3 < p < 5 $) . Nilai$ a = 1 > 0 \, $, artinya$ x^2-px + 7 \, $definit positif dan tidak mempengaruhi pertidaksamaan. Pertidaksamaan menjadi :$ (x^2-px + 7)(x-1)^2(x+2) > 0 \, $ekuivalen$ (x-1)^2(x+2) > 0 $*).$ (x-1)^2(x+2) = 0 \rightarrow x = 1 \vee x = -2 $

Jadi, HP = $\{ -2 < x < 1 \,$ atau $\, x > 1 \}$