Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK) adalah kumpulan persamaan linear dan persamaan kuadrat yang mempunyai solusi yang sama. Untuk menyelesaikan masalah sistem persamaan linear dan kuadrat, kita harus menguasai tentang "hubungan garis dan parabola" yang tentu ada kaitannya dengan "fungsi kuadrat" dan nilai "Diskriminan".
Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)
Adapun bentuk umum sistem persamaan linear dan kuadrat dengan variabel x dan y
SPLK : {y=px+qy=ax2+bx+c
Keterangan :
*). Variabelnya x dan y
*). Koefisiennya a,b,p∈R
*). Konstantanya q,c∈R
SPLK : {y=px+qy=ax2+bx+c
Keterangan :
*). Variabelnya x dan y
*). Koefisiennya a,b,p∈R
*). Konstantanya q,c∈R
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)
Langkah-langkah menyelesaikan SPLK :
♣ Substitusikan salah satu persamaan ke persamaan lainnya sehingga terbentuk persamaan kuadrat.
♣ Substitusikan salah satu persamaan ke persamaan lainnya sehingga terbentuk persamaan kuadrat.
♣ Tentukan akar-akar persamaan kuadrat (misal x1 dan x2 ) , kemudian substitusikan x1 dan x2 ke persamaan garis untuk memperoleh y1 dan y2 .
♣ Himpunan penyelesaian adalah {(x1,y1),(x2,y2)} .
Contoh
1). Himpunan penyelesaian SPLK
{y=−4x+1y=x2−3x−1
adalah {(x1,y1),(x2,y2)} , tentukan nilai x1+x2?
Penyelesaian :
♠ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
y=−4x+1→→→→→⏟substitusiy=x2−3x−1−4x+1=x2−3x−1x2+x−2=0(x+2)(x−1)=0x=−2∨x=1
artinya x1=−2 dan x2=1
Sehingga nilai x1+x2=−2+1=−1
Jadi, nilai x1+x2=−1
2). Tentukan Himpunan penyelesaian (HP) dari SPLK:
{4x−y−6=02x2−3x+y+3=0
Penyelesaian :
♣ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
4x−y−6=0→y=4x−6
y=4x−6→→→→→⏟substitusi2x2−3x+y+3=02x2−3x+(4x−6)+3=02x2+x−3=0(2x+3)(x−1)=0x1=−32∨x2=1
♣ Substitusikan nilai x1 dan x2 ke persamaan garis (y=4x−6) untuk memperoleh y1 dan y2 :
x1=−32→y1=4x−6=4(−32)−6=−6−6=−12
x2=1→y2=4x−6=4(1)−6=4−6=−2
Jadi, HP nya adalah {(−32,−12),(1,−2)}
3). Salah satu nilai x yang memenuhi Sistem Persamaan berikut:
{4x2−4xy+y2=43x+y=8
adalah .... ?
Penyelesaian :
♠ Faktorkan pers(i) :
4x2−4xy+y2=4(2x−y)(2x−y)=4(2x−y)2=42x−y=±√4=±22x−y=±22x−y=2∨2x−y=−2
♠ Eliminasi persamaan baru yang diperoleh dengan garis (3x+y=8)
2x−y=23x+y=8+5x=10x=2 $ \begin{array}{cc} 2x - y =
♣ Himpunan penyelesaian adalah {(x1,y1),(x2,y2)} .
Jenis-jenis penyelesaian SPLK
SPLK ini dapat dituliskan dalam bentuk (setelah disubstitusikan) :
ax2+(b−p)x+(c−q)=0
dengan nilai diskriminan : D=b2−4ac=(b−p)2−4a(c−q)
Jika dilihat dari nilai D, SPLK memiliki beberapa jenis penyelesaian:
i). Jika D>0 , maka SPLK memiliki dua penyelesaian. Secara geometris, garis memotong kurva di dua titik.
ii). Jika D=0, maka SPLK memiliki satu penyelesaian. Secara geometris, garis menyinggung kurva di satu titik.
iii). Jika D<0, maka SPLK tidak memiliki penyelesaian. Secara geometris, garis tidak memotong kurva.
ax2+(b−p)x+(c−q)=0
dengan nilai diskriminan : D=b2−4ac=(b−p)2−4a(c−q)
Jika dilihat dari nilai D, SPLK memiliki beberapa jenis penyelesaian:
i). Jika D>0 , maka SPLK memiliki dua penyelesaian. Secara geometris, garis memotong kurva di dua titik.
ii). Jika D=0, maka SPLK memiliki satu penyelesaian. Secara geometris, garis menyinggung kurva di satu titik.
iii). Jika D<0, maka SPLK tidak memiliki penyelesaian. Secara geometris, garis tidak memotong kurva.
Contoh
1). Himpunan penyelesaian SPLK
{y=−4x+1y=x2−3x−1
adalah {(x1,y1),(x2,y2)} , tentukan nilai x1+x2?
Penyelesaian :
♠ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
y=−4x+1→→→→→⏟substitusiy=x2−3x−1−4x+1=x2−3x−1x2+x−2=0(x+2)(x−1)=0x=−2∨x=1
artinya x1=−2 dan x2=1
Sehingga nilai x1+x2=−2+1=−1
Jadi, nilai x1+x2=−1
2). Tentukan Himpunan penyelesaian (HP) dari SPLK:
{4x−y−6=02x2−3x+y+3=0
Penyelesaian :
♣ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
4x−y−6=0→y=4x−6
y=4x−6→→→→→⏟substitusi2x2−3x+y+3=02x2−3x+(4x−6)+3=02x2+x−3=0(2x+3)(x−1)=0x1=−32∨x2=1
♣ Substitusikan nilai x1 dan x2 ke persamaan garis (y=4x−6) untuk memperoleh y1 dan y2 :
x1=−32→y1=4x−6=4(−32)−6=−6−6=−12
x2=1→y2=4x−6=4(1)−6=4−6=−2
Jadi, HP nya adalah {(−32,−12),(1,−2)}
3). Salah satu nilai x yang memenuhi Sistem Persamaan berikut:
{4x2−4xy+y2=43x+y=8
adalah .... ?
Penyelesaian :
♠ Faktorkan pers(i) :
4x2−4xy+y2=4(2x−y)(2x−y)=4(2x−y)2=42x−y=±√4=±22x−y=±22x−y=2∨2x−y=−2
♠ Eliminasi persamaan baru yang diperoleh dengan garis (3x+y=8)
2x−y=23x+y=8+5x=10x=2 $ \begin{array}{cc} 2x - y =
{4x−y−6=02x2−3x+y+3=0
Penyelesaian :
♣ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
4x−y−6=0→y=4x−6
y=4x−6→→→→→⏟substitusi2x2−3x+y+3=02x2−3x+(4x−6)+3=02x2+x−3=0(2x+3)(x−1)=0x1=−32∨x2=1
♣ Substitusikan nilai x1 dan x2 ke persamaan garis (y=4x−6) untuk memperoleh y1 dan y2 :
x1=−32→y1=4x−6=4(−32)−6=−6−6=−12
x2=1→y2=4x−6=4(1)−6=4−6=−2
Jadi, HP nya adalah {(−32,−12),(1,−2)}
3). Salah satu nilai x yang memenuhi Sistem Persamaan berikut:
{4x2−4xy+y2=43x+y=8
adalah .... ?
Penyelesaian :
♠ Faktorkan pers(i) :
4x2−4xy+y2=4(2x−y)(2x−y)=4(2x−y)2=42x−y=±√4=±22x−y=±22x−y=2∨2x−y=−2
♠ Eliminasi persamaan baru yang diperoleh dengan garis (3x+y=8)
2x−y=23x+y=8+5x=10x=2 2x−y=−23x+y=8+5x=6x=65
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x=2 atau x=65
4). Jika (a,b) memenuhi SP berikut:
{5x2+3y2=24√5x−√3y=3
maka nilai ab=...?
Penyelesaian :
♣ Kuadratkan pers(ii)
√5x−√3y=3(√5x−√3y)2=325x2+3y2−2.√5.√3xy=95x2+3y2−2√15xy=9
♣ Eliminasi pers(i) dan pers(ii) yang baru
5x2+3y2=245x2+3y2−2√15xy=9−2√15xy=15xy=152√15xy=12√15
Jadi, nilai ab=12√15
5). Sistem Persamaan berikut:
{x−y=px2+3x+y=−5
mempunyai tepat satu solusi, tentukan nilai x+y?
Penyelesaian :
♠ Eliminasi persamaan (i) dan (ii):
x−y=px2+3x+y=−5+x2+4x=p−5x2+4x+(5−p)=0
♠ SPLK mempunyai satu penyelesaian, syaratnya D=0:
D=0→b2−4ac=0→42−4.1.(5−p)=0→p=1
♠ Substitusi p=1 ke persamaan kuadrat:
x2+4x+(5−p)=0x2+4x+(5−1)=0x2+4x+4=0(x+2)2=0x+2=0x=−2
♠ Substitusi x=−2 ke pers(ii)
x2+3x+y=−5→(−2)2+3.(−2)+y=−5→y=−3
Jadi, nilai x+y=−2+(−3)=−5
Penyelesaian :
♣ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
4x−y−6=0→y=4x−6
y=4x−6→→→→→⏟substitusi2x2−3x+y+3=02x2−3x+(4x−6)+3=02x2+x−3=0(2x+3)(x−1)=0x1=−32∨x2=1
♣ Substitusikan nilai x1 dan x2 ke persamaan garis (y=4x−6) untuk memperoleh y1 dan y2 :
x1=−32→y1=4x−6=4(−32)−6=−6−6=−12
x2=1→y2=4x−6=4(1)−6=4−6=−2
Jadi, HP nya adalah {(−32,−12),(1,−2)}
3). Salah satu nilai x yang memenuhi Sistem Persamaan berikut:
{4x2−4xy+y2=43x+y=8
adalah .... ?
Penyelesaian :
♠ Faktorkan pers(i) :
4x2−4xy+y2=4(2x−y)(2x−y)=4(2x−y)2=42x−y=±√4=±22x−y=±22x−y=2∨2x−y=−2
♠ Eliminasi persamaan baru yang diperoleh dengan garis (3x+y=8)
2x−y=23x+y=8+5x=10x=2 2x−y=−23x+y=8+5x=6x=65
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x=2 atau x=65
4). Jika (a,b) memenuhi SP berikut:
{5x2+3y2=24√5x−√3y=3
maka nilai ab=...?
Penyelesaian :
♣ Kuadratkan pers(ii)
√5x−√3y=3(√5x−√3y)2=325x2+3y2−2.√5.√3xy=95x2+3y2−2√15xy=9
♣ Eliminasi pers(i) dan pers(ii) yang baru
5x2+3y2=245x2+3y2−2√15xy=9−2√15xy=15xy=152√15xy=12√15
Jadi, nilai ab=12√15
5). Sistem Persamaan berikut:
{x−y=px2+3x+y=−5
mempunyai tepat satu solusi, tentukan nilai x+y?
Penyelesaian :
♠ Eliminasi persamaan (i) dan (ii):
x−y=px2+3x+y=−5+x2+4x=p−5x2+4x+(5−p)=0
♠ SPLK mempunyai satu penyelesaian, syaratnya D=0:
D=0→b2−4ac=0→42−4.1.(5−p)=0→p=1
♠ Substitusi p=1 ke persamaan kuadrat:
x2+4x+(5−p)=0x2+4x+(5−1)=0x2+4x+4=0(x+2)2=0x+2=0x=−2
♠ Substitusi x=−2 ke pers(ii)
x2+3x+y=−5→(−2)2+3.(−2)+y=−5→y=−3
Jadi, nilai x+y=−2+(−3)=−5
EmoticonEmoticon