Dalam beberapa jenis soal sistem persamaan, ternyata tidak semua langsung dalam bentuk suatu sistem persamaan dalam variabel, akan tetapi dalam bentuk soal cerita. Kali ini kita akan membahas Sistem Persamaan dalam Soal Cerita. Namun, untuk memudahkan penyelesaian soal cerita, sebaiknya kita mempelajari dahulu beberapa materi yaitu sistem persamaan linear dua variabel, sistem persamaan tiga variabel, sistem persamaan linear dan kuadrat, serta sistem persamaan kuadrat dan kuadrat.
Contoh
1). Di sebuah toko Budi membayar Rp 11.000 untuk pembelian 2 buah buku dan 3 buah pensil. Di toko yang sama Iwan membayar Rp 6.000 untuk pembelian sebuah buku dan 2 buah pensil. Jika Wati membeli 3 buah buku dan 2 buah pensil, ia harus membayar?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Kita buat model matematikanya
Misalkan $ x = \, $ harga buku per buah, $ y = \, $ harga pensil per buah,
*). 2 buku dan 3 pensil seharga 11.000
$ 2x + 3y = 11000 $
*). 1 buku dan 2 pensil seharga 6.000
$ x + 2y = 6000 $
Sistem persamaannya : $ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 3y = 11000 \\ x + 2y = 6000 \end{array} \right. $
$\spadesuit $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 2x + 3y = 11000 & \text{kali 1} & 2x + 3y = 11000 & \\ x + 2y = 6000 & \text{kali 2} & 2x + 4y = 12000 & + \\ \hline & & -y = -1000 & \\ & & y = 1000 & \end{array} $
Pers(ii) : $ x + 2y = 6000 \rightarrow x + 2 \times 1000 = 6000 \rightarrow x = 4000 $
$\spadesuit $ Harga 3 buku dan 2 pensil
$ 3x + 2y = 3 \times 4000 + 2 \times 1000 = 12000 + 2000 = 14000 $
Jadi, harga 3 buku dan 2 pensil adalah Rp 12.000
2). Usia A sekarang sama dengan tiga kali usia B, sedangkan lima tahun yang lalu, dua kali usia A sama dengan 15 tahun lebih tua dari 7 kali usia B. Tentukan jumlah umur mereka!
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Model matematikanya
Misalkan : Usia A sekarang $ x \, $ tahun dan usia B sekarang $ y \, $ tahun.
*). Sekarang, usia A tiga kali usia B
$ x = 3y $
*). Lima tahun yang lalu, usia A = $ x - 5 $ dan usia B = $ y - 5 $
Dua kali usia A sama dengan 15 tahun lebihnya dari 7 kali usia B
$ 2(x-5) = 7(y-5) + 15 \rightarrow 2x - 10 = 7y - 35 + 15 \rightarrow 2x - 7y = -10 $
Sistem persamaannya : $ \left\{ \begin{array}{c} x = 3y \\ 2x - 7y = -10 \end{array} \right. $
$\clubsuit $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} 2x - 7y & = -10 \\ 2(3y) - 7y & = -10 \\ 6y - 7y & = -10 \\ -y & = -10 \\ y & = 10 \end{align} $
Pers(i) : $ x = 3y = 3.10 = 30 $
artinya, usia A sekarang 10 tahun dan usia B sekarang 30 tahun.
Sehingga nilai $ x + y = 10 + 30 = 40 $
Jadi, jumlah umur mereka sekarang adalah 40 tahun.
3). Besarnya gaji dari empat orang pegawai A, B, C, dan D sebagai berikut. Gaji B sebesar 2 kali gaji A, gaji C lebih 100.000 dari gaji A, gaji D kurang 300.000 dari gaji B. Jika rata-rata gaji C dan D adalah 800.000, tentukan besarnya gaji B?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Model matematikanya
Sistem persamaannya :
$ \left\{ \begin{array}{c} B = 2A \\ C = A + 100.000 \\ D = B - 300.000 \\ \frac{C+D}{2} = 800.000 \end{array} \right. \, \, \, \, \, $ atau $\, \, \, \, \, \left\{ \begin{array}{c} \rightarrow A = \frac{1}{2}B \\ \rightarrow C = \frac{1}{2}B + 100.000 \\ D = B - 300.000 \\ \rightarrow C + D = 1.600.000 \end{array} \right. $
$\spadesuit $ Substitusi pers(ii) dan pers(iii) ke pers(iv)
$ \begin{align} C + D & = 1.600.000 \\ (\frac{1}{2}B + 100.000) + (B - 300.000) & = 1.600.000 \\ \frac{3}{2}B & = 1.800.000 \\ B & = \frac{2}{3} \times 1.800.000 \\ B & = 1.200.000 \end{align} $
Jadi, besarnya gaji B adalah Rp 1.200.000
4). Dua buah bilangan positif memiliki selisih 5 dan hasil kali 1. Tentukan jumlah kuadrat kedua bilangan tersebut?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Model matematikanya
Misalkan bilangannya $ a \, $ dan $ b \, $ dengan $ a > b $
Sistem persamaannya : $ \left\{ \begin{array}{c} a-b = 5 \\ ab = 1 \end{array} \right. $
$\clubsuit $ Kuadratkan pers(i)
$ \begin{align} a-b & = 5 \\ (a-b)^2 & = 5^2 \\ a^2 + b^2 - 2ab & = 25 \\ a^2 + b^2 & = 25 + 2ab \, \, \, \, \text{(substitusi } ab = 1) \\ a^2 + b^2 & = 25 + 2.(1) \\ a^2 + b^2 & = 25 + 2 \\ a^2 + b^2 & = 27 \end{align} $
Jadi, jumlah kuadrat kedua bilangan tersebut adalah 27.
Nah, itu beberapa soal dan pembahasannya yang berkaitan dengan sistem persamaan dalam soal cerita. Semoga bermanfaat.
Penyelesaian Sistem Persamaan dalam Soal Cerita
Langkah-langkah menyelesaikan Soal Cerita :
$\clubsuit \, $ Buat model matematikanya dengan cara memisalkan
$\clubsuit \, $ Selesaikan sistem persamaan yang terbentuk.
$\clubsuit \, $ Buat model matematikanya dengan cara memisalkan
$\clubsuit \, $ Selesaikan sistem persamaan yang terbentuk.
Contoh
1). Di sebuah toko Budi membayar Rp 11.000 untuk pembelian 2 buah buku dan 3 buah pensil. Di toko yang sama Iwan membayar Rp 6.000 untuk pembelian sebuah buku dan 2 buah pensil. Jika Wati membeli 3 buah buku dan 2 buah pensil, ia harus membayar?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Kita buat model matematikanya
Misalkan $ x = \, $ harga buku per buah, $ y = \, $ harga pensil per buah,
*). 2 buku dan 3 pensil seharga 11.000
$ 2x + 3y = 11000 $
*). 1 buku dan 2 pensil seharga 6.000
$ x + 2y = 6000 $
Sistem persamaannya : $ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 3y = 11000 \\ x + 2y = 6000 \end{array} \right. $
$\spadesuit $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 2x + 3y = 11000 & \text{kali 1} & 2x + 3y = 11000 & \\ x + 2y = 6000 & \text{kali 2} & 2x + 4y = 12000 & + \\ \hline & & -y = -1000 & \\ & & y = 1000 & \end{array} $
Pers(ii) : $ x + 2y = 6000 \rightarrow x + 2 \times 1000 = 6000 \rightarrow x = 4000 $
$\spadesuit $ Harga 3 buku dan 2 pensil
$ 3x + 2y = 3 \times 4000 + 2 \times 1000 = 12000 + 2000 = 14000 $
Jadi, harga 3 buku dan 2 pensil adalah Rp 12.000
2). Usia A sekarang sama dengan tiga kali usia B, sedangkan lima tahun yang lalu, dua kali usia A sama dengan 15 tahun lebih tua dari 7 kali usia B. Tentukan jumlah umur mereka!
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Model matematikanya
Misalkan : Usia A sekarang $ x \, $ tahun dan usia B sekarang $ y \, $ tahun.
*). Sekarang, usia A tiga kali usia B
$ x = 3y $
*). Lima tahun yang lalu, usia A = $ x - 5 $ dan usia B = $ y - 5 $
Dua kali usia A sama dengan 15 tahun lebihnya dari 7 kali usia B
$ 2(x-5) = 7(y-5) + 15 \rightarrow 2x - 10 = 7y - 35 + 15 \rightarrow 2x - 7y = -10 $
Sistem persamaannya : $ \left\{ \begin{array}{c} x = 3y \\ 2x - 7y = -10 \end{array} \right. $
$\clubsuit $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} 2x - 7y & = -10 \\ 2(3y) - 7y & = -10 \\ 6y - 7y & = -10 \\ -y & = -10 \\ y & = 10 \end{align} $
Pers(i) : $ x = 3y = 3.10 = 30 $
artinya, usia A sekarang 10 tahun dan usia B sekarang 30 tahun.
Sehingga nilai $ x + y = 10 + 30 = 40 $
Jadi, jumlah umur mereka sekarang adalah 40 tahun.
3). Besarnya gaji dari empat orang pegawai A, B, C, dan D sebagai berikut. Gaji B sebesar 2 kali gaji A, gaji C lebih 100.000 dari gaji A, gaji D kurang 300.000 dari gaji B. Jika rata-rata gaji C dan D adalah 800.000, tentukan besarnya gaji B?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Model matematikanya
Sistem persamaannya :
$ \left\{ \begin{array}{c} B = 2A \\ C = A + 100.000 \\ D = B - 300.000 \\ \frac{C+D}{2} = 800.000 \end{array} \right. \, \, \, \, \, $ atau $\, \, \, \, \, \left\{ \begin{array}{c} \rightarrow A = \frac{1}{2}B \\ \rightarrow C = \frac{1}{2}B + 100.000 \\ D = B - 300.000 \\ \rightarrow C + D = 1.600.000 \end{array} \right. $
$\spadesuit $ Substitusi pers(ii) dan pers(iii) ke pers(iv)
$ \begin{align} C + D & = 1.600.000 \\ (\frac{1}{2}B + 100.000) + (B - 300.000) & = 1.600.000 \\ \frac{3}{2}B & = 1.800.000 \\ B & = \frac{2}{3} \times 1.800.000 \\ B & = 1.200.000 \end{align} $
Jadi, besarnya gaji B adalah Rp 1.200.000
4). Dua buah bilangan positif memiliki selisih 5 dan hasil kali 1. Tentukan jumlah kuadrat kedua bilangan tersebut?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Model matematikanya
Misalkan bilangannya $ a \, $ dan $ b \, $ dengan $ a > b $
Sistem persamaannya : $ \left\{ \begin{array}{c} a-b = 5 \\ ab = 1 \end{array} \right. $
$\clubsuit $ Kuadratkan pers(i)
$ \begin{align} a-b & = 5 \\ (a-b)^2 & = 5^2 \\ a^2 + b^2 - 2ab & = 25 \\ a^2 + b^2 & = 25 + 2ab \, \, \, \, \text{(substitusi } ab = 1) \\ a^2 + b^2 & = 25 + 2.(1) \\ a^2 + b^2 & = 25 + 2 \\ a^2 + b^2 & = 27 \end{align} $
Jadi, jumlah kuadrat kedua bilangan tersebut adalah 27.
Nah, itu beberapa soal dan pembahasannya yang berkaitan dengan sistem persamaan dalam soal cerita. Semoga bermanfaat.
EmoticonEmoticon