Pengertian dan defenisi tentang metode simpleks telah dijelaskan dalam artikel sebelumnya yaitu: Pengantar Dasar Metode Simpleks. Selanjutnya akan diberikan ini contoh soal dan pembahasan penyelesaian masalah dengan metode simpleks.
Contoh Permasalahan Metode Simpleks
Fungsi Tujuan: Z= 15 X1 + 18 X2 + 12 X3
Fungsi Kendala:
Langkah 2. Membuat Tabulasi Fungsi
Tabulasi atau tabel dari fungsi di atas bisa dibuat menjadi bentuk,
Fungsi Tujuan: Z= 15 X1 + 18 X2 + 12 X3
Fungsi Kendala:
10 X1 + 12 X2 + 8 X3 ≤ 120
18 X1 + 15 X2 + 6 X3 ≤ 135
12 X1 + 16 X2 + 6 X3 ≤ 150
X1, X2, X3 ≥ 0
Langkah 1. Merubah Fungsi kendala dan fungsi tujuan
Fungsi tujuan diubah menjadi fungsi implisit,
Dari Z= 15 X1 + 18 X2 + 12 X3
Menjadi : Z- 15 X1 - 18 X2- 12 X3=0
Sementara itu fungsi kendala ditambahkan variabel Slack S1, S2, S3 sehingga menjadi,
Langkah 1. Merubah Fungsi kendala dan fungsi tujuan
Fungsi tujuan diubah menjadi fungsi implisit,
Dari Z= 15 X1 + 18 X2 + 12 X3
Menjadi : Z- 15 X1 - 18 X2- 12 X3=0
Sementara itu fungsi kendala ditambahkan variabel Slack S1, S2, S3 sehingga menjadi,
| 10 X1 + | 12 X2 + | 8 X3 + | S1 | = | 120 | ||
| 18 X1 + | 15 X2 + | 6 X3 | + S2 | = | 135 | ||
| 12 X1 + | 16 X2 + | 6 X3 | + S3 | = | 150 | ||
| X1, X2, X3, S1, S2, S3 | ≥ 0 | ||||||
Langkah 2. Membuat Tabulasi Fungsi
Tabulasi atau tabel dari fungsi di atas bisa dibuat menjadi bentuk,
| Basis | Z | X1 | X2 | X3 | S1 | S2 | S3 | Solusi |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Z | 1 | -15 | -18 | -12 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| S1 | 0 | 10 | 12 | 8 | 1 | 0 | 0 | 120 |
| S2 | 0 | 18 | 15 | 6 | 0 | 1 | 0 | 135 |
| S3 | 0 | 12 | 16 | 6 | 0 | 0 | 1 | 150 |
Catatan: Ambil nilai variabel dalam setiap persamaan untuk isi tabel.
Langkah 3. Mendefenisikan Kolom dan Baris Pivot
Kolom Pivot diambil yaitu pada kolom dengan nilai negatif terkecil pada persamaan Z. Perhatikan kolom pivot yang diwarnai di bawah ini.
Langkah 3. Mendefenisikan Kolom dan Baris Pivot
Kolom Pivot diambil yaitu pada kolom dengan nilai negatif terkecil pada persamaan Z. Perhatikan kolom pivot yang diwarnai di bawah ini.
| Basis | Z | X1 | X2 | X3 | S1 | S2 | S3 | Solusi |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Z | 1 | -15 | -18 | -12 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| S1 | 0 | 10 | 12 | 8 | 1 | 0 | 0 | 120 |
| S2 | 0 | 18 | 15 | 6 | 0 | 1 | 0 | 135 |
| S3 | 0 | 12 | 16 | 6 | 0 | 0 | 1 | 150 |
kolom X2 adalah kolom yang dipilih karena memiliki nilai -18 (nilai negatif terbesar).
Sementara Baris Pivot diambil dengan "membagi Solusi dengan masing masing kolom Pivot"
Bisa diperhatikan pada kolom dibawah ini dimana masing masing entri Solusi:X2(karena X2 kolom Pivot) = Rasio.
Sehingga bedasarkan soal diatas menjadi :Sementara Baris Pivot diambil dengan "membagi Solusi dengan masing masing kolom Pivot"
Bisa diperhatikan pada kolom dibawah ini dimana masing masing entri Solusi:X2(karena X2 kolom Pivot) = Rasio.
| Basis | Z | X1 | X2 | X3 | S1 | S2 | S3 | Solusi | Rasio |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Z | 1 | -15 | -18 | -12 | 0 | 0 | 0 | 0 | – |
| S1 | 0 | 10 | 12 | 8 | 1 | 0 | 0 | 120 | 10 |
| X2 | 0 | 18 | 15 | 6 | 0 | 1 | 0 | 135 | 9 |
| S3 | 0 | 12 | 16 | 6 | 0 | 0 | 1 | 150 | 9.375 |
Langkah 4. Menemukan Persamaan Pivot Baru
Persamaan Pivot Baru diperoleh dengan rumus:
Pivot Baru= Pivot Lama:Elemen PivotElemen Pivot adalah entri pertemuan baris pivot dan kolom pivot. Pada soal ini yaitu 15. Sehingga tabel akan menjadi,
| Basis | Z | X1 | X2 | X3 | S1 | S2 | S3 | Solusi |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Z | 1 | |||||||
| S1 | 0 | |||||||
| X2 | 0 | 18/15 | 1 | 6/15 | 0 | 1/15 | 0 | 9 |
| S3 | 0 |
Bedasarkan tabel diatas semua baris pivot dibagi dengan elemen pivot yaitu 15. Sehingga dihasilkan persamaan pivot yang baru.
Langkah 5. Menentukan Persamaan Baru Selain Persamaan Pivot
Rumus untuk menentukan Persamaan Pivot Baru selain persamaan Pivot adalah:
Langkah 5. Menentukan Persamaan Baru Selain Persamaan Pivot
Rumus untuk menentukan Persamaan Pivot Baru selain persamaan Pivot adalah:
Pers baru = (pers lama) – (pers pivot baru x koefisien kolom pivot)
Jadi persamaan baru yang dicari dari persoalan diatas adalah persamaan baru untuk basis Z, S1, dan S3. Sedangkan S2 sudah diganti oleh persamaan pivot baru X2.
Persamaan Z baru :
(-15) – (18/15 x (-18)) = 33/5
(-18) – (1 x -18) = 0
(-12) – (6/15 x -18) = -24/5
(0) – (0 x -18) = 0
(0) – (1/15 x -18) = 6/5
(0) – (0 x -18) = 0
(0) – (9 x -18) = 162
Persamaan S1 baru :
(10) – (18/15 x 12) = -22/5
(12) – (1 x 12) = 0
(8) – (6/15 x 12) = 16/5
(1) – (0 x 12) = 1
(0) – (1/15 x 12) = -4/5
(0) – (0 x 12) = 0
(120) – (9 x 12) = 12
Persamaan S3 baru :
(12) – (18/15 x 16) = -36/5
(16) – (1 x 16) = 0
(6) – (6/15 x 16) = -2/5
(0) – (0 x 16) = 0
(0) – (1/15 x 16) = -16/5
(1) – (0 x 16) = 1
(150) – (9 x 16) = 6
Sehingga tabulasi bisa dilengkapi menjadi:
| Basis | Z | X1 | X2 | X3 | S1 | S2 | S3 | Solusi |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Z | 1 | 33/5 | 0 | -24/5 | 0 | 6/5 | 0 | 162 |
| S1 | 0 | -22/5 | 0 | 16/5 | 1 | -4/5 | 0 | 12 |
| X2 | 0 | 18/15 | 1 | 6/15 | 0 | 1/15 | 0 | 9 |
| S3 | 0 | -36/5 | 0 | -2/5 | 0 | -16/5 | 1 | 6 |
Langkah 6. Mempositifkan Nilai Z
Silakan diperiksa, apabila nilai Z masih ada yang negatif maka harus dipositifkan. Nilai Optimum akan diperoleh saat semua nilai Z positif. Pada soal diatas baris Z masih ada yang negatif yaitu kolom X3. Maka perlu dilakukan perbaikan untuk mencapai nilai optimal.
Untuk mempositifkan nilai Z, kita harus mengulangi lagi (iterasi) dari langkah 3 dari tabel yang sudah anda hitung. Pengulangan dilakukan hingga baris Z bernilai positif semua.
| Basis | Z | X1 | X2 | X3 | S1 | S2 | S3 | Solusi |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Z | 1 | 0 | 0 | 0 | 3/2 | 0 | 0 | 180 |
| S1 | 0 | -11/8 | 0 | 1 | 5/16 | -1/4 | 0 | 15/4 |
| X2 | 0 | 7/4 | 1 | 0 | -1/8 | 1/6 | 0 | 15/2 |
| S3 | 0 | -31/4 | 0 | 0 | 1/8 | -7/6 | 1 | 15/2 |
Dapat Disimpulkan bahwasanya nilai optimum dari permasalahan di atas adalah Z = 180
EmoticonEmoticon